Derivación de la integral de la ruta de Feynman

Question

Derivación de la integral de la ruta de Feynman

Orbitz

Tengo algunos problemas para entender una parte de la derivación de la formulación integral de ruta de QM, digamos que tengo el propagador, luego podemos dividirlo en N partes st

\begin{matrix} (1) & [X^{'}, t_{1}; X_{0}, t_{0}] = [X^{'}; {mi}^{i H Δ t / ℏ} . . . ._{norte t i metro mi s} . . . . {mi}^{i H Δ t / ℏ}; X_{0}], \end{matrix}

$[x',t_1;x_0,t_0]=[x';e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar}...._{N\ times}....e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar};x_0], \tag{1}$

definiendo $[a;b]$ para ser bra-kets, respectivamente y $\textbf{H}$ nuestro operador hamiltoniano, donde estamos tomando partículas desde el punto $x_0$ en $t_0$ apuntar $x'$ en $t_1$ y los intervalos se rompen dándonos $\Delta t=(t_1-t_0)/N$ .

Por lo tanto, podemos reescribir como

\begin{matrix} (2) & [X^{'}, t_{1}; X_{0}, t_{0}] = [X_{norte}; {mi}^{i H Δ t / ℏ}; X_{norte - 1}] . . . [X_{1}; {mi}^{i H Δ t / ℏ}; X_{0}] \end{matrix}

$[x',t_1;x_0,t_0]=[x_N;e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar};x_{N-1}]...[x_1;e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar};x_{0}] \tag{2}$ Para mí, tendríamos

\begin{matrix} (3) & [X_{norte}; {mi}^{i H Δ t / ℏ}; X_{norte - 1}] = \int d X_{norte - 1} [X_{norte}; {mi}^{i H Δ t / ℏ}; X_{norte - 1}] [X_{norte - 1}; X_{norte - 1}]; \end{matrix}

$[x_N;e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar};x_{N-1}]=\int dx_{N-1}[x_N;e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar};x_{N-1}][x_{N-1};x_{N-1}]; \tag{3}$ Donde usé la identidad

\begin{matrix} (4) & 1 = \int d X; X_{norte}] [X_{norte}; \end{matrix}

$1 = \int dx\ ;x_N][x_N; \tag{4}$

Creo que tendríamos algo como esta ecuación después de resolver (2) en forma integral:

[X^{'}, t_{1}; X_{0}, t_{0}] =

$[x',t_1;x_0,t_0]=$

\int d X_{norte - 1} [X_{norte}; {mi}^{i H Δ t / ℏ}; X_{norte - 1}] [X_{norte - 1}; X_{norte - 1}] \int d X_{norte - 2} [X_{norte - 1}; {mi}^{i H Δ t / ℏ}; X_{norte - 2}] [X_{norte - 2}; X_{norte - 2}] . . . \times \int d X_{0} [X_{1}; {mi}^{i H Δ t / ℏ}; X_{0}] [X_{0}; X_{0}] (5)

$\int dx_{N-1}[x_N;e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar};x_{N-1}][x_{N-1};x_{N-1}] \int dx_{N-2}[x_{N-1};e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar};x_{N-2}][x_{N-2};x_{N-2}]... \\ \times\int dx_{0}[x_1;e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar};x_{0}][x_{0};x_{0}] \qquad (5)$

pero los libros dicen lo siguiente:

[X^{'}, t_{1}; X_{0}, t_{0}] =

$[x',t_1;x_0,t_0]=$

\int d X_{1} . . . \int d X_{norte - 1} [X_{norte}; {mi}^{i H Δ t / ℏ}; X_{norte - 1}] [X_{norte - 1}; {mi}^{i H Δ t / ℏ}; X_{norte - 2}] . . . [X_{2}; {mi}^{i H Δ t / ℏ}; X_{1}] [X_{1}; {mi}^{i H Δ t / ℏ}; X_{0}]

$\int dx_1 ... \int dx_{N-1}[x_N;e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar};x_{N-1}][x_{N-1};e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar};x_{N-2}]...[x_2;e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar};x_{1}] [x_1;e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar};x_{0}]$

Y no puedo ver por qué.

Así que aquí están mis preguntas:

¿Cometí algún error en mi derivación?
¿Por qué se cumple la última ecuación? En lugar de tener los propagadores dentro de cada integral.

j murray

Solo una nota sobre la convención: la notación estándar de bra-ket generalmente utiliza los corchetes angulares

⟨

$\langle$ (\langosta) y

⟩

$\rangle$ (\rangle) en lugar de corchetes para vectores de estado.

Respuestas (2)

Derivación de la integral de la ruta de Feynman

Solo una nota sobre la convención: la notación estándar de bra-ket generalmente utiliza los corchetes angulares $\langle$ (\langosta) y $\rangle$ (\rangle) en lugar de corchetes para vectores de estado.

j murray · Answer 1

Cuando inserta el operador de identidad entre cada uno de sus propagadores infinitesimales, necesita integrar todos los estados intermedios. En otras palabras,

⟨ X_{norte} | {mi}^{- i H Δ t} {mi}^{- i H Δ t} \dots {mi}^{- i H Δ t} | X_{0} ⟩ =

$\langle x_N|e^{-iH\Delta t} e^{-iH \Delta t} \ldots e^{-iH\Delta t}|x_0\rangle =$

⟨ X_{norte} | {mi}^{- i H Δ t} (\int d X_{norte - 1} | X_{norte - 1} ⟩ ⟨ X_{norte - 1} |) {mi}^{- i H Δ t} (\int d X_{norte - 2} | X_{norte - 2} ⟩ ⟨ X_{norte - 2} |) {mi}^{- i H Δ t} \dots | X_{0} ⟩

$\langle x_N|e^{-iH\Delta t}\left(\int dx_{N-1}|x_{N-1}\rangle\langle x_{N-1}|\right)e^{-iH\Delta t}\left(\int dx_{N-2}|x_{N-2}\rangle\langle x_{N-2}|\right)e^{-iH\Delta t}\ldots |x_{0}\rangle$ Cuando realizó este paso, no integró todos los estados intermedios. No estoy seguro exactamente de lo que quisiste hacer: reciclaste variables ficticias e insertaste nuevos conjuntos de estados después o algo así.

A partir de ahí, puede tirar de todos los signos integrales a la izquierda (esto no hace nada, solo despeja la notación) y encuentra que esto es igual

\int d X_{norte - 1} \int d X_{norte - 2} . . . \int d X_{1} ⟨ X_{norte} | {mi}^{- i H Δ t} | X_{norte - 1} ⟩ ⟨ X_{norte - 1} | {mi}^{- i H Δ t} | X_{norte - 2} ⟩ ⟨ X_{norte - 2} | \dots | X_{1} ⟩ ⟨ X_{1} | {mi}^{- i H Δ t} | X_{0} ⟩

$\int dx_{N-1}\int dx_{N-2}...\int dx_1 \langle x_N|e^{-iH\Delta t}|x_{N-1}\rangle\langle x_{N-1}|e^{-iH\Delta t}|x_{N-2}\rangle\langle x_{N-2}|\ldots|x_1\rangle\langle x_1|e^{-iH\Delta t}|x_0\rangle$

como dice el libro.

Muchas gracias, ahora tiene sentido para mí por qué tiramos las integrales a la izquierda y el resto se puede tirar al lado derecho de la ecuación, estaba malinterpretando lo que sucede después de la primera igualdad, ahora está todo claro.

Seid oscuro · Answer 2

Creo que tienes un problema en el paso 2 . El $|x_{N-1} \rangle$ eso sale de la nada en su derivación, en realidad aparece porque usamos la relación de completitud (como en su paso 4 ). Insertamos esta integral entre dos $e^{i\mathbf{H}\Delta t/\hbar}$ .

Los estados están normalizados: $\langle i| i \rangle = 1$ . No importa cuántos de ellos estén presentes en la expresión final.

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Orbitz

j murray

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j murray

Orbitz

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