Potencial de Coleman-Weinberg: ¿resumen en 2 bucles?

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Potencial de Coleman-Weinberg: ¿resumen en 2 bucles?

Física
Feynman-diagramas
1pi-acción-efectiva
teoría cuántica de campos
teoría del campo efectivo

zzz

Digamos que queremos calcular el potencial de Coleman-Weinberg en 2 bucles.

La estrategia general, como sabemos, es expandir el campo $\phi$ alrededor de algún campo clásico de fondo $\phi \rightarrow \phi_b + \phi$ , y hacer una integral de trayectoria sobre la parte cuántica del campo, $\phi$ .

Podemos recuperar la acción efectiva haciendo una integral de trayectoria, algo así como la ecuación 42 en esta referencia .

Hay 2 formas de hacer esto en 1 bucle, podemos evaluar un determinante funcional o hacer lo clásico de Coleman-Weinberg donde sumamos todos los diagramas que obtenemos al insertar cualquier cantidad de campos de fondo $\phi_b^2$ en la integral de bucle. Esta es la ec. (56) de esa misma referencia nuevamente .

Mi pregunta es, ¿por qué no necesitamos hacer esta reanudación sobre las inserciones de campo de fondo en 2 bucles? Por ejemplo, en esta referencia (bastante estándar) , así como en el capítulo 11 de Peskin y Schroeder, los autores parecen afirmar que la contribución de 2 bucles a la integral de trayectoria son simplemente los diagramas de vacío del "sol naciente" y la "figura 8". , y ni siquiera se menciona ninguna suma sobre las inserciones de campo clásicas.

¿Qué me estoy perdiendo?

EDITAR:

Para dar más detalles, en la teoría de perturbaciones, cada diagrama que contribuye a la integral de trayectoria es una integral espacial de alguna derivada funcional que actúa sobre la integral de trayectoria de campo libre con una fuente: el diagrama de bucle con n inserciones de campo externo $\phi_b$ es el término:

{(ϕ_{b}^{2} \int d X {(\frac{d}{d j (X)})}^{2})}^{norte} Z_{0} [j]

$\left( \phi_b^2 \int dx \left( \frac {\delta}{\delta J(x)}\right)^2 \right)^n Z_0[J]$

La figura 8 de 2 bucles es

\int d X {(\frac{d}{d j (X)})}^{4} Z_{0} [j]

$\int dx \left( \frac {\delta}{\delta J(x)}\right)^4 Z_0[J]$

Los 2 diagramas de bucle que parecen excluir los documentos citados anteriormente son contribuciones como

{(ϕ_{b}^{2} \int d X {(\frac{d}{d j (X)})}^{2})}^{norte} \int d X {(\frac{d}{d j (X)})}^{4} Z_{0} [j]

$\left( \phi_b^2 \int dx \left( \frac {\delta}{\delta J(x)}\right)^2 \right)^n\int dx \left( \frac {\delta}{\delta J(x)}\right)^4 Z_0[J]$

Me parece que estos términos surgirán en la expansión exponencial del lagrangiano interactuante, por lo que parece que un resumen sobre $n$ , como en el caso de 1 bucle, sigue siendo necesario. ¿Dónde está mi error?

zzz

@Qmechanic, gracias por la edición, pero el artículo de wikipedia que vinculó parece definir el potencial de Coleman Weinberg como el potencial del lagrangiano QED, sin embargo, en el artículo clásico de Coleman y Weinberg, aplican su análisis también a teorías de campo escalar más simples. Aquí me estoy refiriendo claramente a tal potencial para una teoría de campo escalar.

qmecanico

HOLA @bechira: OK, eliminé el enlace wiki nuevamente. Considere agregar más detalles para que la publicación sea más accesible. También considere agregar autor, título, etc., de los enlaces para que los enlaces puedan reconstruirse en caso de que se rompan.

Motl de Luboš

Bechira, en todos los casos, uno simplemente escribe todos los diagramas de Feynman con las líneas externas apropiadas que contienen los vértices permitidos. Si las inserciones son cero, se garantiza que desaparecerán o se supone que se restan de una manera diferente antes de escribir la acción de la parte cuántica.

zzz

@LubošMotl sí, por supuesto, la pregunta es que no es obvio para mí que los diagramas que obtiene, por ejemplo, al insertar un campo de fondo en una línea en el diagrama del sol poniente, desaparezcan.

zzz

@Qmechanic Gracias, he agregado algunos detalles para analizar aún más el problema.

Respuestas (1)

Potencial de Coleman-Weinberg: ¿resumen en 2 bucles?

@Qmechanic, gracias por la edición, pero el artículo de wikipedia que vinculó parece definir el potencial de Coleman Weinberg como el potencial del lagrangiano QED, sin embargo, en el artículo clásico de Coleman y Weinberg, aplican su análisis también a teorías de campo escalar más simples. Aquí me estoy refiriendo claramente a tal potencial para una teoría de campo escalar.
HOLA @bechira: OK, eliminé el enlace wiki nuevamente. Considere agregar más detalles para que la publicación sea más accesible. También considere agregar autor, título, etc., de los enlaces para que los enlaces puedan reconstruirse en caso de que se rompan.
Bechira, en todos los casos, uno simplemente escribe todos los diagramas de Feynman con las líneas externas apropiadas que contienen los vértices permitidos. Si las inserciones son cero, se garantiza que desaparecerán o se supone que se restan de una manera diferente antes de escribir la acción de la parte cuántica.
@LubošMotl sí, por supuesto, la pregunta es que no es obvio para mí que los diagramas que obtiene, por ejemplo, al insertar un campo de fondo en una línea en el diagrama del sol poniente, desaparezcan.
@Qmechanic Gracias, he agregado algunos detalles para analizar aún más el problema.

Adán · Answer 1

Al calcular el potencial efectivo $V(\phi)$ en la fase ordenada ( $\phi_b>0$ ), uno tiene que usar el propagador clásico $G_c[\phi_b]$ dado por el inverso de

\frac{d^{2} S [ϕ]}{d ϕ^{2}},

$\frac{\delta^2 S[\phi]}{\delta\phi^2},$ que es un funcional de

ϕ

$\phi$ . La energía del vacío está dada por

V (ϕ_{b})

$V(\phi_b)$ , donde hay que recordar que

ϕ_{b}

$\phi_b$ también se calcula consistentemente en la perturbación por

V^{'} (ϕ_{b}) = 0.

$V'(\phi_b)=0.$ Usar el propagador clásico es equivalente a un resumen consistente del

ϕ_{b}^{2}

$\phi_b^2$ a todo orden. En particular, la acción efectiva en dos bucles viene dada por

Γ [ϕ] = S [ϕ] + \frac{1}{2} T r Iniciar sesión {GRAMO}_{C} [ϕ] + 2 - yo o o pags s d i a gramo r a metro s,

$\Gamma[\phi]=S[\phi]+\frac{1}{2}Tr \log G_c[\phi]+{\rm 2-loops\; diagrams},$ donde los diagramas de 2 bucles son el 8 y el sol naciente, que deben calcularse utilizando el propagador clásico.

¿Por qué "Usar el propagador clásico es equivalente a una reanudación consistente del $\phi_b^2$ a todo orden"?
@bechira: Mire el potencial efectivo en un bucle. El propagador clásico incluye el $\lambda\phi_b^2$ término. Si expande el propagador en el registro, eso dará lugar a la $\phi_b^2$ términos que deben resumirse si utiliza el propagador gratuito.

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Adán

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