Srednicki QFT Capítulo 29: Diagramas de Feynman para calcular la acción efectiva

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Srednicki QFT Capítulo 29: Diagramas de Feynman para calcular la acción efectiva

Física
integral de trayectoria
Feynman-diagramas
1pi-acción-efectiva
teoría cuántica de campos
teoría del campo efectivo

rinosaurio

Estoy tratando de abrirme camino a través del Capítulo 29 de Srednicki sobre el enfoque de Wilson para la renormalización. Sin embargo, no estoy seguro de por qué los diagramas de Feynman que Srednicki considera y calcula en este capítulo son los correctos.

En el capítulo, consideramos un $\phi^4$ teoría en el espacio euclidiano con integral de trayectoria

\begin{matrix} (29.4) & Z (j) = \int D ϕ {mi}^{- S_{mi} + \int j ϕ} \end{matrix}

$Z(J) = \int D\phi \ e^{-S_{E} + \int J \phi} \tag{29.4}$ donde la acción euclidiana

\begin{matrix} (29.5) & S_{mi} = \int d^{4} X (\frac{1}{2} Z_{ϕ} \partial_{m} ϕ \partial_{m} ϕ + \frac{1}{2} Z_{metro} {metro}_{pag h} ϕ^{2} + \frac{1}{4!} Z_{λ} λ_{pag h} ϕ^{4}) . \end{matrix}

$S_E = \int d^4x \left( \frac{1}{2}Z_{\phi} \partial_{\mu} \phi \partial_{\mu}\phi + \frac{1}{2}Z_{m} m_{ph}\phi^2 + \frac{1}{4!}Z_{\lambda}\lambda_{ph}\phi^4\right).\tag{29.5}$

Por lo que tengo entendido, imponemos un límite de impulso $\Lambda$ y dividir el campo

ϕ (X) = φ (X) + x (X),

$\phi (x) = \varphi (x) + \chi (x) ,$ dónde

φ (x)

$\varphi (x)$ tiene apoyo en el espacio de momento sólo para

| k | < Λ

$|k| < \Lambda$ mientras

χ

$\chi$ tiene soporte solo para

| k | > Λ

$|k| > \Lambda$ . Esto debería dividirse

D ϕ = D φ D x,

$D \phi = D\varphi D\chi,$ y la acción se convierte

S_{mi} = \int d^{4} X (\frac{1}{2} Z_{ϕ} \partial_{m} φ \partial_{m} φ + \frac{1}{2} Z_{metro} {metro}_{pag h} φ^{2} + \frac{1}{4!} Z_{λ} λ_{pag h} φ^{4}) + \int d^{4} X (\frac{1}{2} Z_{ϕ} \partial_{m} x \partial_{m} x + \frac{1}{2} Z_{metro} {metro}_{pag h} x^{2} + \frac{1}{4!} Z_{λ} λ_{pag h} (x^{4} + 4 x^{3} φ + 6 x^{2} φ^{2} + 4 x φ^{3})) .

$S_E = \int d^4x \left( \frac{1}{2}Z_{\phi} \partial_{\mu} \varphi \partial_{\mu}\varphi + \frac{1}{2}Z_{m} m_{ph}\varphi^2 + \frac{1}{4!}Z_{\lambda}\lambda_{ph}\varphi^4\right) + \int d^4x \left( \frac{1}{2}Z_{\phi} \partial_{\mu} \chi \partial_{\mu}\chi + \frac{1}{2}Z_{m} m_{ph}\chi^2 + \frac{1}{4!}Z_{\lambda}\lambda_{ph} \left( \chi^4 + 4 \chi^3 \varphi + 6 \chi^2 \varphi^2 + 4 \chi \varphi^3 \right) \right).$

Ahora queremos integrar los modos de alto impulso para obtener una acción efectiva

\begin{matrix} (29.9) & Z (j) = \int D φ {mi}^{- S_{mi F F} (φ) + \int j φ}, \end{matrix}

$Z(J) = \int D\varphi e^{-S_{eff}(\varphi) + \int J \varphi}, \tag{29.9}$

dónde

\begin{matrix} (29.10) & S_{mi F F} (φ) = - registro (\int D x {mi}^{- S_{mi} (φ, x)}) . \end{matrix}

$S_{eff}(\varphi) = - \log \left( \int D\chi e^{-S_E(\varphi , \chi)} \right).\tag{29.10}$

Srednicki luego dice que para calcular los parámetros multiplicando los operadores que aparecen en el lagrangiano efectivo

\begin{matrix} (29.11) & L_{mi F F} (φ) = \frac{1}{2} Z (Λ) \partial_{m} φ \partial_{m} φ + \frac{1}{2} metro (Λ)^{2} φ^{2} + \frac{1}{4!} λ (Λ) φ^{4} + \sum_{d \geq 6} \sum_{i} C_{d, i} (Λ) O_{d, i} \end{matrix}

$L_{eff}(\varphi) = \frac{1}{2}Z(\Lambda) \partial_{\mu} \varphi \partial_{\mu}\varphi + \frac{1}{2} m(\Lambda)^2 \varphi^2 + \frac{1}{4!}\lambda (\Lambda)\varphi^4 + \sum_{d \geq 6} \sum_{i} c_{d,i}(\Lambda) \mathcal{O}_{d,i}\tag{29.11}$

necesitamos sumar los diagramas 1PI con el número correcto de externos $\varphi$ lineas e internas $\chi$ propagadores.

Ahora, lo que no entiendo es por qué solo necesitamos sumar los diagramas 1PI. Para mí, la fórmula para la acción efectiva sugeriría que deberíamos sumar todos los diagramas conectados * con solo internos $\chi$ propagadores y no sólo los diagramas 1PI. Por ejemplo, para calcular el coeficiente de $\varphi^6$ , ¿por qué no considero un diagrama que une dos vértices con 3 externos $\varphi$ lineas con un solo $\chi$ ¿línea?

Respuestas (3)

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Abdelmalek Abdesselam · Answer 1

No tengo el libro frente a mí, pero creo que uno no debe tomar esta explicación del RG de Wilson demasiado literalmente. Si insistes en una identidad exacta

Z [j] = \int D ϕ {mi}^{- S_{mi} + j ϕ} = \int D φ {mi}^{- S_{mi F F} (φ) + j φ}

$Z[J]=\int D\phi\ e^{-S_E+J\phi}=\int D\varphi\ e^{-S_{eff}(\varphi)+J\varphi}$ entonces, en principio, la acción efectiva no estará dada por un lagrangiano efectivo local . Es decir, los términos de operador superiores no serán como

\int d X φ (X)^{norte}

$\int dx \ \varphi(x)^n$ pero más como

\int \dots \int d X_{1} \dots d X_{norte} k (X_{1}, \dots, X_{norte}) φ (X_{1}) \dots φ (X_{norte})

$\int\cdots\int dx_1\cdots dx_n\ K(x_1,\ldots,x_n)\varphi(x_1)\cdots\varphi(x_n)$ para algunos núcleos no locales

K

$K$ que están hechos de los diagramas conectados con

χ

$\chi$ propagadores. Se podría escribir una aproximación local que equivalga a reemplazar la última cantidad por decir

\int \dots \int d X_{1} \dots d X_{norte} k (X_{1}, \dots, X_{norte}) φ (X_{1})^{norte}

$\int\cdots\int dx_1\cdots dx_n\ K(x_1,\ldots,x_n)\varphi(x_1)^n$ por lo que la contribución de los diagramas implica los acoplamientos efectivos

\int \dots \int d X_{2} \dots d X_{norte} k (X_{1}, \dots, X_{norte})

$\int\cdots\int dx_2\cdots dx_n\ K(x_1,\ldots,x_n)$

= \int \dots \int d X_{2} \dots d X_{norte} k (0, X_{2}, \dots, X_{norte})

$=\int\cdots\int dx_2\cdots dx_n\ K(0,x_2,\ldots,x_n)$ por invariancia de traducción. Si ahora escribe esto en el espacio de cantidad de movimiento, verá que el

χ

$\chi$ Los gráficos conectados se evalúan con un momento externo cero . Si el gráfico no es 1PI, hay un puente o una línea interna de separación que debería tener un momento cero fluyendo a través de él. Pero este un

χ

$\chi$ propagador y por construcción se desvanece por momentos

< Λ

$<\Lambda$ y en particular cero. En conclusión, en principio se deberían incluir todos los gráficos conectados, pero los únicos supervivientes de la evaluación de impulso cero son los de 1PI.

Editar según las dudas de AFT: una excelente descripción del uso de la operación de espacio de posición de puntos en movimiento $x_1,\ldots,x_n$ a todos sentados en decir $x_1$ , para hacer la renormalización, se encuentra en la Sección II.2 del libro "De la Renormalización Perturbativa a la Constructiva" de Vincent Rivasseau. Para los más inclinados a las matemáticas, vea también el artículo reciente de Martin Hairer "La opinión de un analista sobre el teorema BPHZ" .

No estoy seguro de comprar esta explicación (en mi humilde opinión, el reemplazo $\phi_1\cdots\phi_n\to\phi^n$ no parece ser una aproximación válida en ningún sentido). Por ahora, tenga en cuenta que hay una copia del libro de Srednicki gratis en su página web .
@AccidentalFourierTransform: ¿ha oído hablar de la aproximación potencial local y la expansión derivada? El reemplazo $\varphi_1\cdots \varphi_n\rightarrow \varphi^n$ es el corazón mismo de la renormalización en QFT. La intuición detrás de esto es que $K$ está hecho de duro $\chi$ propagadores que decaen rápidamente en el espacio de posición si los puntos se alejan más entre sí. Por otro lado, este núcleo no local está acoplado con campos suaves externos o de variación lenta. $\varphi(x_i)$ .
@AccidentalFourierTransform: Estoy seguro de que lo sabe, pero probablemente en un idioma diferente: espacio de impulso. En el marco BPHZ, vuelve a normalizar un subgrafo con un grado superficial de divergencia $\delta\ge 0$ restando el orden $\delta$ Expansión de Taylor alrededor del impulso cero. Esta es la operación básica iterada recursivamente en la fórmula del bosque de Zimmermann. Si cambia las coordenadas para posicionar el espacio, entonces esta resta, en la forma más fácil $\delta=0$ caso, es la diferencia entre $\varphi_1\cdots\varphi_n$ y $\varphi_1^n$ . Editaré mi respuesta para agregar una referencia detallada.

kryomaxim · Answer 2

La razón es el teorema del racimo enlazado. Establece que dada una acción $S(\chi)$ , entonces los diagramas de Feynman generados por

$Z = \int \mathcal{D}[\chi] e^{iS(\chi)}$

a veces están desconectados, por ejemplo, al evaluar un orden en la expansión de la serie perturbativa, puede obtener no solo un solo diagrama de Feynman que está conectado, puede obtener múltiples diagramas que son independientes entre sí. Dejar $W$ Sea el generador funcional para los diagramas de Feynman que están todos conectados. Entonces, el teorema del racimo enlazado establece que

$W = \log Z$ .

Debido a que en el cálculo de la acción efectiva tendrá exactamente ese logaritmo, solo tiene que sumar todos los diagramas conectados y, por lo tanto, puede ignorar los desconectados. Los diagramas de Feynman reducibles se hacen a los irreducibles.

Además, si $Z[J]$ depende del campo fuente $J$ , de la que puede derivar todo tipo de funciones de correlación tomando derivadas, luego puede demostrar que tomando $J$ -derivadas de la funcional $W[J]$ , obtendrá todos los cumulantes posibles. La desviación estándar

$\sigma_{XY} = <0|T(XY)|0> - <0|X|0><0|Y|0>$

para dos observables $X,Y$ y operador de pedidos de tiempo $T$ es una forma simple de cumulante, porque mide una nueva información estadística, las desviaciones e ignora las contribuciones de los promedios simples $<0|X|0>$ restando estos.

Agradezco tu comentario sobre los diagramas conectados, ese fue mi error por no incluir esto. Sin embargo, incluso con esto, todavía no estoy seguro de por qué Srednicki se restringe solo a los diagramas irreducibles de 1 partícula en lugar de todos los diagramas conectados.
Tenga en cuenta que $\text{irreducible diagrams}\subset\text{connected diagrams}\subset \text{all diagrams}$ dado por $\Gamma,W,Z$ . Conectado no es lo mismo que irreductible.
Calculas momentos gaussianos en variable $\chi$ en este caso, y a medida que los calcule, obtendrá un gráfico, donde un vértice estará conectado con al menos dos propagadores (excepto el $\chi \phi^3$ -término que es simplemente una pata externa). El $\chi^2 \phi^2$ tiene dos factores $\chi$ que puede vincularse a otros vértices del diagrama después del cálculo de las integrales de Gauss. Entonces, si corta un vínculo, se vinculará con al menos un vértice y se conservará la conectividad.

qmecanico · Answer 3

Srednicki no implica que la acción efectiva wilsoniana sea la acción efectiva de 1PI , si eso es lo que pregunta OP. Ver también esta publicación de Phys.SE.

Más bien, Srednicki simplemente está señalando que la función de partición (29.9) para la acción wilsoniana efectiva (como cualquier función de partición) puede analizarse más convenientemente a través de la transformación de Legendre en diagramas 1PI.

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