Renormalización de campo de ϕ4ϕ4\phi^4 a segundo orden

Question

Renormalización de campo de ϕ4ϕ4\phi^4 a segundo orden

Física
renormalización
Feynman-diagramas
1pi-acción-efectiva
teoría cuántica de campos

Espaguetificación cuántica

En Peskin & Schroeder Problema 10.3 pág. 345 renormalizan el campo en $\phi^4$ teoría utilizando el siguiente diagrama de puesta del sol de 2 bucles.

Al observar la función de correlación $G^{(2)}_0$ esto parecería lo más obvio ya que:

{GRAMO}_{0}^{(2)} = \frac{1}{{pag}^{2} + {metro}_{0}^{2}} - \frac{λ_{0}}{({pag}^{2} + {metro}_{0}^{2})^{2}} \int \frac{d^{D} k}{(2 π)^{D}} \frac{1}{k^{2} + {metro}_{0}^{2}}

$G_0^{(2)}=\frac{1}{p^2+m_0^2}-\frac{\lambda_0}{(p^2+m_0^2)^2}\int \frac{d^Dk}{(2\pi)^D}\frac{1}{k^2+m_0^2}$

+ \frac{λ_{0}^{2}}{3! ({pag}^{2} + {metro}_{0}^{2})^{2}} \int \frac{d^{D} k_{1}}{(2 π)^{D}} \frac{d^{D} k_{2}}{(2 π)^{D}} \frac{1}{(k_{1}^{2} + {metro}_{0}^{2}) (k_{2}^{2} + {metro}_{0}^{2}) ((pag - k_{1} - k_{2})^{2} + {metro}_{0}^{2})} + \dots

$+\frac{\lambda_0^2}{3!(p^2+m_0^2)^2}\int \frac{d^Dk_1}{(2\pi)^D}\frac{d^Dk_2}{(2\pi)^D}\frac{1}{(k_1^2+m_0^2)(k_2^2+m_0^2)((p-k_1-k_2)^2+m_0^2)}+\cdots$

donde para facilitar la notación permítanme escribir:

{GRAMO}_{0}^{(2)} = \frac{1}{{pag}^{2} + {metro}_{0}^{2}} - \frac{λ_{0}}{({pag}^{2} + {metro}_{0}^{2})^{2}} I_{1} + \frac{λ_{0}^{2}}{3! ({pag}^{2} + {metro}_{0}^{2})^{2}} I_{2} + \dots

$G_0^{(2)}=\frac{1}{p^2+m_0^2}-\frac{\lambda_0}{(p^2+m_0^2)^2}I_1+\frac{\lambda_0^2}{3!(p^2+m_0^2)^2}I_2+\cdots$

Pero que yo sepa, no es esto lo que renormalizamos sino la función de vértice. $\Gamma_0^{(2)}$ que está dado por:

Γ_{0}^{(2)} = \frac{1}{{GRAMO}_{0}^{(2)}}

$\Gamma_0^{(2)}=\frac{1}{G_0^{(2)}}$

= ({pag}^{2} + {metro}_{0}^{2}) + λ_{0} I_{1} - \frac{λ_{0}^{2}}{3!} I_{2} + \frac{λ_{0}^{2}}{{pag}^{2} + {metro}^{2}} I_{1}^{2} + \dots

$=(p^2+m_0^2)+\lambda_0I_1-\frac{\lambda_0^2}{3!}I_2+\frac{\lambda_0^2}{p^2+m^2}I_1^2+\cdots$

así debería el $I_1^2$ ¿El término no debe incluirse en la renormalización del campo y por qué a menudo se omite?

apt45

No estoy seguro de haber entendido tu pregunta. Eche un vistazo a mi respuesta aquí physics.stackexchange.com/q/375360 (la segunda parte). puede ser util

Respuestas (1)

Renormalización de campo de ϕ4ϕ4\phi^4 a segundo orden

No estoy seguro de haber entendido tu pregunta. Eche un vistazo a mi respuesta aquí physics.stackexchange.com/q/375360 (la segunda parte). puede ser util

Abdelmalek Abdesselam · Answer 1

Abdelmalek Abdesselam

dejaré los subíndices $0$ y superíndice $(2)$ para facilitar la notación. Si vas a calcular $\frac{1}{G}$ hasta segundo orden en $\lambda$ , es mejor que te asegures de tener a tu disposición una expresión para $G$ que es completa hasta segundo orden. el tuyo no lo es te falta un $\lambda^2$ término que básicamente es $I_1^2$ con tres propagadores libres. El $I_1^2$ término en $\Gamma$ simplemente no está allí. Se cancela por el término que te faltó en $G$ . También tenga en cuenta que incluso si estuviera allí por alguna extraña razón, no contribuiría a la renormalización de la función de onda/intensidad de campo. Este último se obtiene de la $p^2$ coeficiente de la expansión de Taylor alrededor del momento externo cero. Desde $I_1$ es una "constante infinita", no depende del impulso externo $p$ y asi no $p^2$ término. El primer gráfico que aporta un $p^2$ término es el gráfico de la luz del sol $I_2$ .

Espaguetificación cuántica

Si el diagrama del que está hablando es el que estoy pensando, entonces no es 1PI y, como tal, no debe incluirse en

Γ

$\Gamma$ que se calcula usando solo diagramas 1PI.

Abdelmalek Abdesselam

@Quantumspaghettification: si lee mi respuesta detenidamente, se dará cuenta de que mi punto es: el gráfico

I_{1}^{2}

$I_1^2$ que no es 1PI pero aún está conectado, debe incluirse en

G

$G$ que te olvidaste de hacer. Si lo hiciera, entonces no lo vería aparecer en

1 / G

$1/G$ cual es

Γ

$\Gamma$ eso solo debería tener 1PI en él.

Espaguetificación cuántica

Las notas de clase que estoy usando dan

Γ^{(N)}

$\Gamma^{(N)}$ como (en general):

Γ_{0}^{(norte)} = {[(\prod_{j = 1}^{norte} {\tilde{GRAMO}}_{0}^{(2)} ({pag}_{j})^{- 1}) {\tilde{GRAMO}}_{0}^{(norte)} ({pag}_{1}, \dots, {pag}_{norte})] |}_{1 PAG I}

$\Gamma^{(N)}_0=\left. \left[ \left( \prod^N_{j=1}\tilde G_0^{(2)}(p_j)^{-1} \right) \tilde G_0^{(N)}(p_1,\ldots, p_N)\right] \right|_{1PI}$ Parece que estás diciendo que en realidad está dado por:

Γ_{0}^{(norte)} = (\prod_{j = 1}^{norte} {\tilde{GRAMO}}_{0}^{(2)} ({pag}_{j})^{- 1}) {[{\tilde{GRAMO}}_{0}^{(norte)} ({pag}_{1}, \dots, {pag}_{norte})] |}_{1 PAG I}

$\Gamma^{(N)}_0=\left( \prod^N_{j=1}\tilde G_0^{(2)}(p_j)^{-1} \right) \left. \left[ \tilde G_0^{(N)}(p_1,\ldots, p_N)\right] \right|_{1PI}$ o incluso

Γ_{0}^{(norte)} = (\prod_{j = 1}^{norte} {\tilde{GRAMO}}_{0}^{(2)} ({pag}_{j})^{- 1}) {\tilde{GRAMO}}_{0}^{(norte)} ({pag}_{1}, \dots, {pag}_{norte})

$\Gamma^{(N)}_0=\left( \prod^N_{j=1}\tilde G_0^{(2)}(p_j)^{-1} \right) \tilde G_0^{(N)}(p_1,\ldots, p_N)$ ¿es esto correcto?

Espaguetificación cuántica

dónde

{[\dots] |}_{1 P I}

$\left.\left[ \ldots \right] \right|_{1PI}$ significa que solo consideramos los diagramas 1PI para todo lo que está entre corchetes (p. ej.

{\tilde{G}}_{0}^{(2)}

$\tilde G_0^{(2)}$ en el primer caso solo se estaría evaluando para incluir 1PI.

Abdelmalek Abdesselam

Puedo escribir una respuesta reflexiva sobre las definiciones precisas de las funciones de vértice y la transformación de Legendre frente a 1PI. Pero tendría que ser una respuesta a una nueva publicación sobre eso (a menos que alguien ya haya preguntado) y no puedo hacerlo en este momento. Mi respuesta se basó completamente en cómo formulaste tu pregunta. solo estaba hablando de

N = 2

$N=2$ y usé la definición que escribiste arriba, es decir,

Γ := 1 / G

$\Gamma:=1/G$ . Dado que todavía hay algún problema de comunicación que le impide ver que mi respuesta resuelve su pregunta, permítame probar el método socrático y hacerle preguntas...

Abdelmalek Abdesselam

... ¿Está de acuerdo en que su expansión hasta el segundo orden de

G_{0}^{(2)}

$G_{0}^{(2)}$ ¿Es incorrecto? (sí o no)

Espaguetificación cuántica

Ok, encontré este PDF ( users.physik.fu-berlin.de/~kleinert/kleiner_reb8/psfiles/04.pdf ) que aclara mi falta de conocimiento sobre las definiciones de funciones de vértice. Gracias por tu respuesta.

Renormalización de campo de ϕ4ϕ4\phi^4 a segundo orden

Espaguetificación cuántica

apt45

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