¿Por qué usamos valores propios para representar valores observados en mecánica cuántica?

Uno de los postulados de la mecánica cuántica es que a todo observable A le corresponde un operador hermitiano lineal A^, y cuando medimos el observable A obtenemos como resultado un valor propio de A^.

En espíritu, sí. Por razones técnicas, esto no es del todo cierto. Como lo menciona Slereah en los comentarios, la declaración más precisa es que una medida de$A$devuelve valores que se encuentran en el espectro de$\hat A$. Si el espectro de$\hat A$es puramente continua, como es el caso de la posición observable de una partícula en una línea, entonces$\hat A$en realidad no tiene valores propios porque no hay estados$\psi$en el espacio de Hilbert tal que$\hat A \psi = \lambda \psi$para algún número complejo$\lambda$.

Esto introduce dificultades técnicas, pero la conclusión que es relevante para esta discusión es que para cada observable$A$, corresponde a un operador autoadjunto$\hat A$, y cuando medimos el observable$A$obtenemos un resultado que se encuentra en el espectro de$\hat A$.

Esto puede estar motivado de varias maneras, pero mi favorita es la siguiente. Tenga en cuenta que esta no fue la ruta histórica hacia la mecánica cuántica, que estuvo llena de muchos giros y vueltas y callejones sin salida.

Si vemos la física clásica a través de la lente de la mecánica hamiltoniana, podemos definir un observable como una función continua desde las variables del espacio de fase (las coordenadas generalizadas y los momentos) hasta los números reales. Con algunas suposiciones adicionales extremadamente leves, como la conectividad del espacio de fase, esto implica inmediatamente que los posibles resultados de las mediciones toman la forma de intervalos conectados en$\mathbb R$. Por ejemplo, las posiciones posibles de un punto en una línea infinita están dadas por$\mathbb R$, las energías cinéticas posibles para tal partícula es el intervalo$[0,\infty)$, y las posibles coordenadas z para una partícula unida a una esfera unitaria son$[-1,1]$.

Los resultados del experimento de Stern-Gerlach (en el que las posibles componentes z del momento angular de espín son$\{\frac{\hbar}{2},-\frac{\hbar}{2}\}$) y los espectros de emisión del hidrógeno (en los que la energía de estado ligado posible constituye el conjunto discreto$\{-\frac{13.6\text{ eV}}{n^2}\}$) van inmediatamente en contra de este resultado. Ahora también entendemos que, por ejemplo, los espectros de energía de los sólidos se encuentran en bandas desconectadas, lo que una vez más es incompatible con la línea de razonamiento anterior.

No existe una forma clara de modificar la mecánica hamiltoniana para dar cuenta de estas posibilidades, por lo que estamos motivados para buscar un marco completamente diferente que pueda hacerlo. Resulta que la teoría espectral de operadores lineales en espacios de Hilbert contiene precisamente la flexibilidad que necesitamos. Un operador genérico$\hat A$en un espacio de Hilbert tiene$\sigma(\hat A)\subseteq \mathbb C$, por lo que en el contexto de cantidades observables es razonable preguntar qué operadores tienen espectros que se encuentran completamente en$\mathbb R$; la respuesta es que$\sigma(\hat A)\subseteq \mathbb R \iff \hat A$es auto-adjunto$^\dagger$.

En consecuencia, decimos que a nuestro sistema asociamos un espacio de Hilbert, que toma el lugar del espacio fase de la física clásica y cuyos elementos constituyen (a grandes rasgos) el espacio de estados posibles del sistema. Las cantidades observables ahora están representadas por operadores autoadjuntos y sus espectros corresponden a posibles resultados de medición.

Un elemento genérico de un espacio de Hilbert de dimensión finita se puede descomponer en una combinación lineal de vectores propios de cualquier operador autoadjunto que desee. Si$\hat A$tiene$\lambda$como un valor propio, entonces no parece irrazonable suponer que el estado propio correspondiente es uno para el cual la medición de$A$regresa precisamente$\lambda$. La situación es más compleja cuando el espectro del operador es continuo, pero el espíritu del argumento sigue siendo el mismo.

Por supuesto, nada de esto es una prueba matemática de que estamos tomando las decisiones correctas; de hecho, tal prueba no podría existir. Todo lo que podemos hacer es juntar estas ideas en un marco coherente, hacer predicciones y compararlas con experimentos. Da la casualidad de que esta receta en particular tiene un enorme éxito, aunque eso no descarta la posibilidad de que algún día sea reemplazada por algo mejor.

$^\dagger$Esto no es del todo cierto; consulte aquí para obtener una generalización. Sin embargo, es un buen punto de partida para la formulación estándar de QM, que luego se puede ampliar.

El experimento de Stern-Gerlach y experimentos similares muestran

• Un sistema tiene un estado.
• Los estados de un sistema forman un espacio de Hilbert. Puede elegir un conjunto de estados básicos y representar el estado actual del sistema como una suma de esos estados básicos. EG Para el espín de los electrones, su elección de arriba/abajo, izquierda/derecha o estados en algún otro ángulo.
• Una medición es una interacción física que cambia el estado del sistema y produce un valor medido. En general, el valor medido es probabilístico incluso si se conoce el estado. EG Un estado de giro a la izquierda en una medición de giro hacia arriba/abajo produce resultados de giro hacia arriba y hacia abajo con la misma probabilidad.
• Una medición cambia el estado a uno consistente con el valor medido. EG Si una medición de giro arriba/abajo produce un resultado de giro arriba, el sistema está en un estado de giro arriba. Otra medición también producirá un valor de giro.

Las medidas transforman un estado en un espacio de Hilbert a otro. Esto es justo lo que hacen los operadores en el espacio de Hilbert.

Una medida deja algunos estados sin cambios y produce un valor predecible. Algunos operadores dejan los estados sin cambios. Esos estados se denominan estados propios del operador.

Un operador muy similar lleva el estado a un múltiplo escalar de sí mismo. Este operador puede representar tanto el efecto de la medida sobre el estado del sistema como el valor medido. El valor escalar múltiplo/medido se llama valor propio del operador. esto nos da$\hat{A} \left|a\right> = \lambda \left|a\right>$

Los valores medidos son reales. El valor propio es real cuando el operador es autoadjunto.

La magnitud de$\left|a\right>$no es importante para nosotros, por lo que podemos exigir que$\left<a|a\right> = 1$para todos los estados. Esta normalización funciona bien cuando trabajamos con estados base y probabilidades.

Al afirmar que lo observable$A$es representable por un operador que tiene valores propios específicos, usted afirma que el único resultado posible de medir$A$son esos valores propios. Después de medir el sistema y asegurarse de que el resultado es un valor propio$a_n$entonces también está seguro de que el sistema está en un estado que se atribuye al valor propio$a_n$, por lo tanto, un estado propio específico. Por ejemplo, puede intentar medir si una partícula en una caja está en la parte izquierda o derecha de la caja. Esta medida se describe mediante un operador que solo tiene dos valores propios y estados propios, porque los resultados que buscamos son solo dos resultados distintos.

El postulado de medida de la mecánica cuántica se puede formular así:

Medida de observable$A$se modela como un proceso probabilístico: Con probabilidad$p_i$dará el resultado$a_i$(un valor propio de$A$) mientras arroja el estado de$|\Psi\rangle$(un vector normalizado) a$|a_i\rangle$(un vector propio normalizado de$\hat{A}$). Las probabilidades están dadas por$p_i=|\langle a_i|\Psi\rangle|^2$.

Una medida debe cumplir con el siguiente requisito físico.

Cuando una medida de observable$A$en un estado ha dado el resultado$a_i$, luego repetir la medición inmediatamente nuevamente dará el mismo resultado$a_i$de nuevo. Este es un requisito básico para cualquier medición (de lo contrario, ni siquiera lo llamaríamos una medición). Innumerables experimentos (siendo los experimentos de Stern-Gerlach los primeros) confirmaron este requisito.

El postulado de arriba está motivado por el hecho de que cumple con este requisito:

cuando mides$A$sobre el estado

En física no tiene mucho sentido preguntar por qué la naturaleza es como es. Si su pregunta es esencialmente por qué el resultado numérico de una medición tiene que ser un valor propio (o más estrictamente, como ha dicho Slereah, un elemento en el espectro) del operador, entonces la única respuesta admisible es "porque eso es lo que hace que sea preciso". predicciones".

Creo que el mejor ejemplo para motivar a un alumno es el trompo.

Las partículas preparadas para que sus espines sean +1/2 en una dirección z de laboratorio dada, si se miden con un aparato inclinado arbitrariamente con respecto a la orientación preparada, tienen espines a veces +1/2 ya veces -1/2.

Pero el valor esperado del promedio de un gran número de mediciones puede calcularse mediante los vectores propios$|S\rangle$de la matriz resultante de la combinación lineal de la matriz de Pauli:$\sigma_k = n_x\sigma_x + n_y\sigma_y + n_z\sigma_z$, dónde$n_i$son los componentes del vector unitario de la nueva orientación.

Al menos cuando se desarrolló ese procedimiento matemático, solo coincidió con los datos empíricos. Las matrices resultantes de la combinación lineal tienen siempre los mismos 2 valores propios.

Es posible que desee echar un vistazo a las ideas del darwinismo cuántico . No estoy seguro de cuán populares son estos pensamientos, así que decide por ti mismo.

Según tengo entendido, se intenta explicar por qué se miden ciertos estados, en función de cuán "estables" son en comparación con otros estados cuando interactúan con el dispositivo de medición y el entorno.