¿Por qué usamos operadores hermitianos en QM?

Un problema con lo dado$3\times 3$El ejemplo de matriz es que los espacios propios no son ortogonales.

Por lo tanto, no tiene sentido decir que uno ha medido con 100% de certeza que el sistema está en algún espacio propio pero no en los otros, porque puede haber una superposición distinta de cero en un espacio propio diferente.

Uno puede probar$^{1}$que un operador es hermitiano si y solo si es diagonalizable en una base ortonormal con valores propios reales. Ver también esta publicación de Phys.SE.

$^{1}$Ignoraremos las sutilezas con operadores ilimitados , dominios, extensiones autoadjuntas , etc., en esta respuesta.

Si desea ver algo diferente, en realidad hay algunos artículos de Carl Bender que desarrollan la mecánica cuántica formulada con operadores simétricos de tiempo de paridad. Muestra que algunos hamiltonianos no son hermitianos, pero tienen valores propios reales y parecen representar sistemas físicos válidos. Si lo piensa, el requisito de que su operador sea simétrico en tiempo de paridad tiene más sentido físicamente que la hermiticidad. En un artículo posterior, se demostró que su enfoque de la mecánica cuántica era equivalente al estándar en el que los operadores son hermitianos.

Si está interesado, puede leer http://arxiv.org/abs/quant-ph/0501052

Para dar una respuesta que es un poco más general de lo que está preguntando, puedo pensar en tres razones para tener operadores hermitianos en la teoría cuántica:

1. La teoría cuántica se basa en transformaciones unitarias, para simetrías, cambios de base o evolución temporal. Las transformadas unitarias son generadas por operadores hermitianos como en$U=\exp(\mathrm iHt)$. Y las representaciones unitarias del grupo de Lie vienen con un álgebra de mentira de operadores hermitianos.

2. Los resultados de las mediciones se toman de un conjunto de estados ortogonales con valores de medición reales. Esta estructura se representa de manera eficiente mediante un operador hermitiano que viene con una estructura propia que cumple con estos requisitos con precisión.

3. Las representaciones estatales de subsistemas y conjuntos conducen a operadores hermitianos. Para los conjuntos esto se puede ver desde la construcción como una suma convexa de proyectores, que son necesariamente hermíticos. Para los estados de los subsistemas, resulta de trazar un proyector sobre espacios de factores tensoriales. Esto está relacionado con el punto 2) porque procesos como la decoherencia conectan los resultados de la medición con los operadores de densidad.

El punto de los estados propios y de toda el álgebra lineal de la mecánica cuántica es que las proyecciones$\langle\phi|\psi\rangle$del Estado$|\psi\rangle$en cada estado propio$|\phi\rangle$representan las amplitudes de probabilidad de cada estado propio. En particular, esto significa:

Donde la suma se toma sobre todos los estados propios de un operador. Como esto debe ser cierto para todos los estados$|\psi\rangle$, la cosa de la izquierda debe ser una suma pitagórica, por lo que la$|\phi\rangle$s debe formar una base ortogonal. Alternativamente, uno puede simplemente notar que debemos tener$\langle \phi_1|\phi_2\rangle=0$si los valores propios correspondientes son distintos, como dos observaciones distintas deben ser mutuamente excluyentes.

Eso demuestra que las matrices deben ser normales. Que sean elegidos para ser hermitianos no es esencial, pero sí útil, como ya se ha discutido.