¿Los vectores propios son siempre ortogonales entre sí?

Cuando un operador observable/autoadjunto A ^ tiene solo valores propios discretos, los vectores propios son ortogonales entre sí. De manera similar, cuando un observable A ^ tiene solo valores propios continuos, los vectores propios son ortogonales entre sí.

Pero que si A ^ tiene valores propios discretos y continuos?

CONTEXTO:

De acuerdo con mi maestro, un observable A ^ puede tener valores propios discretos y continuos simultáneamente.

A ^ | norte ⟩ = α norte | norte ⟩

A ^ | ξ ⟩ = ξ | ξ ⟩

La plenitud es esto.

∑ norte | norte ⟩ ⟨ norte | + ∫ d ξ | ξ ⟩ ⟨ ξ | = 1 ^

Ahora lo siguiente es cierto.

⟨ norte | metro ⟩ = d norte metro

⟨ ξ | ξ ′ ⟩ = d ( ξ − ξ ′ )

PREGUNTA:

Son | norte ⟩ y | ξ ⟩ ortogonales entre sí? Quiero decir, ¿es verdadera la siguiente ecuación?

⟨ norte | ξ ⟩ = 0

Quiero que esto sea verdad. Tengo que usar esto para probar la fórmula del valor esperado.

mi [ A ] = ⟨ ψ | A ^ | ψ ⟩ ⟨ ψ | pag s i ⟩ .

El caso de valores propios continuos ya incluye el caso de valores propios tanto discretos como continuos.
Una nota al margen de esta discusión es que hay libertad para elegir los vectores propios de un subespacio degenerado. Se pueden elegir de cualquier manera, aunque la ventaja práctica radica en elegirlos ortogonales.
@mastrok Gracias por tu comentario. Ciertamente parece ser cierto, ahora que lo pienso.
@dmckee Gracias por tu comentario. Me parece un poco difícil, pero me ayudaría a comprender mejor :)
Digamos que tienes exactamente dos vectores propios | a i ⟩ y | a j ⟩ con el mismo valor propio a . Entonces | a k ⟩ = ( | a i ⟩ + | a j ⟩ ) / 2 es otro vector con valor propio a (verifícame en eso). Ahora, cualquiera de los dos | a i ⟩ , | a j ⟩ , y | a k ⟩ (o de hecho cualquier otra combinación lineal de | a i ⟩ y | a j ⟩ ) forman un conjunto generador para el subespacio que contiene los tres vectores y se pueden seleccionar como base para ese subespacio. Pero no se gana eligiendo un conjunto que no sea ortogonal.
POR CIERTO. No use <y >para corchetes. Utilice \langley \rangleen su lugar. Se extienden más y obtienen el espacio correcto (los primeros son operadores de comparación y se escriben con espacio adicional a su alrededor).
@dmckee Gracias. Ahora entiendo más la libertad de elegir los vectores propios. Y también gracias por decirme los comandos correctos de Markdown. Lo tendré en mente.

Respuestas (1)

Necesita formalizar la noción de discreto/continuo. Si asumimos que esta es una propiedad bien definida del sistema, entonces debe existir una propiedad observable. D que tiene los mismos estados propios que A con valores propios 0 para estados propios discretos y 1 para estados propios continuos. Luego puede probar que un estado propio discreto | norte ⟩ y un estado propio continuo | ξ ⟩ son ortogonales cuando norte = ξ (de lo contrario, con diferentes valores propios ya sabríamos que tienen que ser ortogonales), usando el hecho de que los valores propios de D de estos estados son diferentes.

Gracias por su respuesta. ¿Es "son ortogonales cuando n = ξ" un error de tipeo? Pensé que sería "son ortogonales cuando n ≠ ξ".
@ynn Si los dos vectores propios son diferentes, entonces es trivial que sean ortogonales. Esto se sigue de la computación ⟨ ξ | A | norte ⟩ Dejando A actuar sobre el ket y el sostén que tienen que dar el mismo resultado, pero si los valores propios son diferentes, solo pueden ser iguales si el producto interno entre los dos estados es cero. Entonces, lo que queda por hacer es el caso cuando los dos valores propios son iguales. Pero en ese caso usas el mismo argumento pero ahora con A reemplazado por D ya que los dos estados tienen valores propios diferentes para ese operador.
Gracias. Ahora entiendo lo que estabas diciendo. Y tengo lo que quería.
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