Valores propios cuánticos, medidas, posibilidades de no coincidir

Tengo una tarea con un estado cuántico dado, denotado$\phi=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ -1\end{bmatrix}$y un operador para el observable B, dado por$B=b\begin{bmatrix}0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{bmatrix}$

Y me piden encontrar las posibles medidas de B, para el estado cuántico$\phi$.

Ahora; Probé dos métodos diferentes (dados por dos instructores diferentes) y no estoy seguro de cuál es el correcto.

Método 1

Las posibles medidas de B deben ser dadas por el producto.$B|\phi\rangle$, que da el vector

$B|\phi\rangle=\begin{bmatrix}b\sqrt{2} \\ 0 \\ -b\sqrt{2}\end{bmatrix}$

Lo que indica que los posibles valores de una medida de B son$b$y$-b$y sus respectivas posibilidades son$(\sqrt{2})^2=\frac{1}{2}=50$% cada.

Método 2 - y aquí hay un problema...

Las posibles medidas de B son sus valores propios; Encuentro los valores propios de B, dados por el polinomio característico, y obtengo$\lambda = -2b,2b,2b$(nótese la degeneración), con sus respectivos vectores propios

$v_1 = \begin{bmatrix}-1 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}, v_2 = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}, v_3 = \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}$

expreso el estado$\phi$como una combinación lineal de estos. Es$\phi=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigg(\frac{1}{2} v_1+\frac{1}{2} v_3 - 1v_2\bigg)$

Las posibilidades de cada valor propio individual$B=\lambda_n$son los cuadrados normales de los coeficientes para el vector propio correspondiente, en la combinación lineal para$\phi$. Es decir, la oportunidad de obtener$B=\lambda_1=-b$debiera ser

$|\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{2}|^2=\frac{1}{8}$

Y ahora probablemente ya puedas ver mi problema, porque las posibilidades no parecen cuadrar.$\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{2}\neq 1.0$

Y lo más extraño es, para otro encargo similar, con el observable$L_z$y un estado cuántico diferente, utilicé ambos métodos y dieron exactamente los mismos resultados.

Sin embargo; mi idea es que el problema surge de la degeneración de los valores propios de B? El otro problema (donde ambos métodos funcionaron) no tuvo degeneraciones en los valores propios de la matriz$[L_z]$