Encontrar medidas en operadores no hermitianos

Muchos textos dicen que un observable debe ser representado por un operador hermitiano. Eso es suficiente , pero no necesario . De manera más general, podemos usar cualquier operador que se pueda expresar como una combinación lineal de operadores de proyección que se conmutan entre sí. Tal operador se llama operador normal . Un operador normal$N$se caracteriza más simplemente por el hecho de que conmuta con su propio adjunto:$N^*N = NN^*$. Los ejemplos de operadores normales incluyen operadores hermitianos, operadores de proyección individual y operadores unitarios.

He aquí un ejemplo para ilustrar esta idea. Si$P_1,P_2,...$son operadores de proyección mutuamente ortogonales, entonces el operador

$$A = a_1 P_1 + a_2 P_2 + \cdots$$ es un operador normal para cualquier elección de coeficientes (posiblemente complejos)$a_k$. Los vectores propios de este operador son mutuamente ortogonales porque los operadores de proyección$P_k$son. Si los coeficientes son reales, entonces$A$es autoadjunto (hermitiano). Pero lo que realmente importa en la teoría cuántica son los operadores de proyección.$P_k$. Estos son los que determinan los diversos resultados posibles de la medición y las frecuencias relativas de esos resultados. los coeficientes$a_k$son solo etiquetas convenientes para los resultados, lo que permite definir estadísticas como valores medios y desviaciones estándar.

Usar solo operadores autoadjuntos es suficiente , porque permitir coeficientes complejos solo permite una forma más general de etiquetar los diversos operadores de proyección implícitos. A la naturaleza no le importa cómo etiquetamos las cosas.

En el primer párrafo, dije "operadores de proyección mutuamente conmutables", que es más general que "operadores de proyección mutuamente ortogonales". Lo último implica lo primero, pero no a la inversa. El primero es necesario para incluir observables como el operador de posición en la mecánica cuántica no relativista, que no tiene vectores propios (normalizables). Sin embargo, todavía define implícitamente operadores de proyección como

$$P\psi(x)=\begin{cases} \psi(x)&\text{ if }x\in R\\ 0 &\text{otherwise}, \end{cases}$$ dónde$R$es alguna región del espacio. Podemos pensar en el operador de posición habitual$X$como una representación conveniente de un solo operador de toda esta álgebra de operadores de proyección que se conmutan mutuamente. Son los operadores de proyección los que usamos en los postulados de medida. El hecho de que cualquier operador normal defina implícitamente tal conjunto de operadores de proyección mutuamente conmutables es el tema del teorema de descomposición espectral .

Dado cualquier observable$A$, si$P$es uno de los operadores de proyección que implícitamente define (a través del teorema de descomposición espectral), entonces una medida de$A$resultará en un estado$|\psi'\rangle$que satisface cualquiera$P|\psi'\rangle = |\psi'\rangle$o$(1-P)|\psi'\rangle=|\psi'\rangle$. (No estoy tratando de defender ninguna interpretación particular de la teoría cuántica aquí; solo estoy tratando de ser conciso). En términos del estado$|\psi\rangle$antes de la medición, las frecuencias relativas de estos dos resultados posibles son$\psi(P)$y$\psi(1-P)$, respectivamente, utilizando la abreviatura

$$\psi(\cdots)\equiv\frac{\langle\psi|\cdots|\psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle}.$$ El punto aquí es que no tenemos que preocuparnos si$A$no tiene un conjunto completo de estados propios (normalizables). Mientras$A$es un operador normal, todavía podemos usar los operadores de proyección correspondientes para hacer predicciones útiles, porque cada uno de los operadores de proyección tiene vectores propios (normalizables). Siempre que todos se comuniquen entre sí, podemos pensar en todo este conjunto de operadores de proyección como un grupo de observables mutuamente compatibles, cada uno de los cuales tiene solo dos resultados posibles.