Los valores propios son observables físicos

Question

Los valores propios son observables físicos

Física
operadores
valor propio
observables
mecánica cuántica

steven sagona

Creo que me siento cómodo con las soluciones PDE de la ecuación de Schrödinger. Pero tan pronto como comenzamos a poner estos valores en una matriz (en notación dirac), pierdo mi comprensión y todo se convierte en magia matemática de conectar y tragar.

Me pregunto si alguien comprende por qué los valores propios de los estados propios de una matriz corresponden a observables físicos. Es decir, ¿cómo podemos mostrar, utilizando la mecánica ondulatoria, que los valores propios de nuestras funciones propias en nuestra PDE pueden corresponder a los valores propios de nuestros vectores propios en una matriz? ¿Y podemos usar esta comprensión para tener una mejor idea de lo que sucede cuando observamos los valores propios de los vectores propios de una rotación de nuestra matriz?

usuario26143

Tenemos una ecuación propia

A | a ⟩ = a | a ⟩

$A |a \rangle = a | a \rangle$ en el espacio vectorial abstracto. Cuando usamos una base discreta, se convierte en una ecuación matricial

⟨ norte | A | a ⟩ = a ⟨ norte | a ⟩

$\langle n | A |a \rangle = a \langle n | a \rangle$ . Cuando usamos una base continua,

⟨ X | A | a ⟩ = a ⟨ X | a ⟩

$\langle x | A |a \rangle = a \langle x | a \rangle$ se convierte en una ecuación diferencial.

curioso

"Me pregunto si alguien comprende por qué los valores propios de los estados propios de una matriz corresponden a observables físicos". Creo que te refieres a la regla Born. Es un axioma independiente de la teoría que, hasta la fecha, no ha sido invalidado experimentalmente. Estrictamente hablando, solo es válido de esta forma en espacio-tiempo plano sin gravedad (aunque uno puede resolver problemas con un potencial gravitacional débil de manera ad-hoc). No se puede derivar la regla de Born del resto de la mecánica cuántica estándar.

Burbuja

Como a la mayoría de nosotros, le han enseñado QM al revés. Olvídese del PDE de Schrodinger y todo lo que ha aprendido hasta ahora sobre QM. En serio. Esta es solo una base especial y proporciona poca información en comparación con la teoría completa. Debería ser algo discutido después de que uno se familiarice con las ideas básicas de QM. Solo toma a Sakurai y comienza a leer. Confía en mí, estarás feliz de haberlo aprendido de la manera correcta más tarde.

steven sagona

@CuriousOne No me di cuenta de que este axioma tenía un nombre. Gracias por eso. Entonces, creo que mi pregunta podría reformularse como "¿Cómo se pasa de la regla de Born en notación dirac a la regla de Born involucrada en declaraciones en mecánica ondulatoria?"

steven sagona

@Bubble Estoy familiarizado con Sakurai, pero supongo que estoy más familiarizado con las PDE. Puedo seguir la mayoría de las demostraciones en sakurai, pero trabajar en notación dirac en general me hace sentir muy incómodo. Las PDE se pueden aplicar a todo tipo de escenarios, pero no puedo decir que me sienta cómodo aplicando las matemáticas en notación dirac a cualquier problema que no sea la mecánica cuántica.

curioso

@StevenSagona: la notación de Dirac no es más que una forma para que los físicos escriban un producto interno en espacios vectoriales (eso es básicamente un espacio de Hilbert ... un espacio vectorial con un número infinito de dimensiones). Hiciste EXACTAMENTE lo mismo en la escuela secundaria (o el primer año de la universidad a más tardar) en un número finito de dimensiones (n=2 o 3) cuando estabas calculando la longitud de un vector y los ángulos entre vectores usando un producto escalar . Un operador en un bra-ket no es más que álgebra lineal con matrices.

Respuestas (2)

Los valores propios son observables físicos

Tenemos una ecuación propia $A | a ⟩ = a | a ⟩$ $A |a \rangle = a | a \rangle$ en el espacio vectorial abstracto. Cuando usamos una base discreta, se convierte en una ecuación matricial $⟨ norte | A | a ⟩ = a ⟨ norte | a ⟩$ $\langle n | A |a \rangle = a \langle n | a \rangle$ . Cuando usamos una base continua, $⟨ X | A | a ⟩ = a ⟨ X | a ⟩$ $\langle x | A |a \rangle = a \langle x | a \rangle$ se convierte en una ecuación diferencial.
"Me pregunto si alguien comprende por qué los valores propios de los estados propios de una matriz corresponden a observables físicos". Creo que te refieres a la regla Born. Es un axioma independiente de la teoría que, hasta la fecha, no ha sido invalidado experimentalmente. Estrictamente hablando, solo es válido de esta forma en espacio-tiempo plano sin gravedad (aunque uno puede resolver problemas con un potencial gravitacional débil de manera ad-hoc). No se puede derivar la regla de Born del resto de la mecánica cuántica estándar.
Como a la mayoría de nosotros, le han enseñado QM al revés. Olvídese del PDE de Schrodinger y todo lo que ha aprendido hasta ahora sobre QM. En serio. Esta es solo una base especial y proporciona poca información en comparación con la teoría completa. Debería ser algo discutido después de que uno se familiarice con las ideas básicas de QM. Solo toma a Sakurai y comienza a leer. Confía en mí, estarás feliz de haberlo aprendido de la manera correcta más tarde.
@CuriousOne No me di cuenta de que este axioma tenía un nombre. Gracias por eso. Entonces, creo que mi pregunta podría reformularse como "¿Cómo se pasa de la regla de Born en notación dirac a la regla de Born involucrada en declaraciones en mecánica ondulatoria?"
@Bubble Estoy familiarizado con Sakurai, pero supongo que estoy más familiarizado con las PDE. Puedo seguir la mayoría de las demostraciones en sakurai, pero trabajar en notación dirac en general me hace sentir muy incómodo. Las PDE se pueden aplicar a todo tipo de escenarios, pero no puedo decir que me sienta cómodo aplicando las matemáticas en notación dirac a cualquier problema que no sea la mecánica cuántica.
@StevenSagona: la notación de Dirac no es más que una forma para que los físicos escriban un producto interno en espacios vectoriales (eso es básicamente un espacio de Hilbert ... un espacio vectorial con un número infinito de dimensiones). Hiciste EXACTAMENTE lo mismo en la escuela secundaria (o el primer año de la universidad a más tardar) en un número finito de dimensiones (n=2 o 3) cuando estabas calculando la longitud de un vector y los ángulos entre vectores usando un producto escalar . Un operador en un bra-ket no es más que álgebra lineal con matrices.

yuggib · Answer 1

Lo que preguntas se llama, en términos matemáticos, teorema espectral . No sé cuánto le interesan los detalles, pero cualquier operador autoadjunto $A$ (operador diferencial parcial lineal en un espacio de Hilbert) se puede escribir como

A = \int_{σ (A)} λ d {PAG}_{λ},

$A=\int_{\sigma(A)}\lambda dP_\lambda\;,$ dónde

σ (A)

$\sigma(A)$ es el espectro de

A

$A$ y

d P_{λ}

$dP_\lambda$ la medida espectral (medida de valor de proyección). Si el operador tiene un espectro puramente discreto (con multiplicidades finitas), es decir, el operador es compacto o con un resolvente compacto, esto se reduce a la forma quizás más familiar:

A = \sum_{i} λ_{i} | ϕ_{λ_{i}} ⟩ ⟨ ϕ_{λ_{i}} |

$A=\sum_i \lambda_i \lvert \phi_{\lambda_i}\rangle\langle\phi_{\lambda_i}\rvert$ dónde

λ_{i}

$\lambda_i$ son los valores propios (repetidos si tienen multiplicidad

> 1

$>1$ ), y

ϕ_{λ_{i}}

$\phi_{\lambda_i}$ el vector propio correspondiente.

Como puede ver, existe una identificación natural entre un operador y sus valores propios/vectores propios; y la notación de Dirac $\langle\psi \rvert A\lvert\phi\rangle$ es solo una forma de escribir el producto escalar entre $A\phi$ y $\psi$ . Usando la descomposición anterior, obtenemos

⟨ ψ | A | ϕ ⟩ = \sum_{i} λ_{i} ⟨ ψ, ϕ_{λ_{i}} ⟩ ⟨ ϕ_{λ_{i}}, ϕ ⟩

$\langle\psi \rvert A\lvert\phi\rangle=\sum_i \lambda_i \langle\psi,\phi_{\lambda_i}\rangle\langle\phi_{\lambda_i},\phi\rangle$ Tenga en cuenta que podemos construir formalmente la "matriz asociada a

A

$A$ " ser la matriz (infinita) con elementos

M_{i j} = ⟨ e_{i} | A | e_{j} ⟩

$M_{ij}=\langle e_i \rvert A\lvert e_j \rangle$ , con

{e_{i}}_{i \in N}

$\{e_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ una base ortonormal del espacio de Hilbert. Esta matriz es diagonal si y solo si elegimos como base los vectores propios del operador

A

$A$ , y los elementos de la diagonal son los valores propios correspondientes. Obviamente, esta imagen ingenua falla si el operador también tiene espectro continuo.

Esa es la mecánica de los operadores lineales, pero no explica por qué surgen los observables físicos de esta y de ninguna otra manera, lo que parece estar preguntando el OP.
@CuriousOne "Es decir, ¿cómo podemos mostrar, usando la mecánica ondulatoria, que los valores propios de nuestras funciones propias en nuestra PDE pueden corresponder a los valores propios de nuestros vectores propios en una matriz?" Entonces, la respuesta me parece adecuada a lo que está preguntando, es decir, la correlación entre los valores propios de un operador diferencial parcial lineal y los de una "matriz" en la notación de Dirac. No parecía una pregunta sobre la base de las medidas de QM, pero tal vez me equivoque... bueno, él tiene respuestas para ambas preguntas eventuales, así que es mejor ;-)
El OP preguntó: "Me pregunto si alguien comprende por qué los valores propios de los estados propios de una matriz corresponden a observables físicos". Eso no se sigue de la linealidad del formalismo. Es un axioma independiente. ¿Quizás está haciendo dos preguntas en una?
@CuriousOne sí, tal vez. Sin embargo, su interpretación parece compartida (al menos por alanf). A ver que dice el OP.
Creo que esta es la fuente de mis preocupaciones. ¿Tiene alguna recomendación para leer para aprender más sobre el teorema espectral? Intenté buscarlo en Google y encontré material enfocado en pruebas realmente pesadas. Tengo un poco de experiencia en matemáticas, por lo que leer esto PODRÍA ser factible. Pero tengo la sensación de que me quedaré con poca o ninguna intuición sobre lo que realmente está pasando en las matemáticas.
@StevenSagona Desafortunadamente, el teorema espectral a menudo se presenta de una manera matemática bastante pesada, y no conozco fuentes que hagan esto de una manera intuitiva ... tal vez porque el teorema espectral no es tan intuitivo ;-) Sin embargo, un bastante simple referencia puede ser este libro de Hall . Si tengo tiempo más tarde, también puedo ampliar un poco la respuesta para explicar al menos los conceptos básicos del teorema espectral (para operadores compactos).

alanf · Answer 2

Una medida no es una primitiva en física. Más bien, una medición es un proceso físico que tiene lugar de acuerdo con las mismas leyes de la física que cualquier otro proceso físico. Esas mismas leyes se aplican al aparato de medida, a la persona que hace la medida ya los registros que hace de la medida. ¿Qué distingue una medida de cualquier otro tipo de proceso físico? Una propiedad que es necesaria para que un proceso en particular cuente como una medida es que es posible copiar el resultado. Es decir, tiene que ser posible que el resultado esté presente en un sistema antes de ser copiado y en más de un sistema después.

Entonces, ¿qué tipo de operadores representan resultados que se pueden copiar de esta manera? Según la mecánica cuántica, los sistemas evolucionan unitariamente. Cualquier operador unitario se puede escribir en la forma:

tu = Σ_{a} {mi}^{i ϕ_{a}} | a ⟩ ⟨ a |,

$U = \Sigma_a e^{i\phi_a}|a\rangle\langle a|,$ donde el

| a ⟩

$|a\rangle$ forman un conjunto ortonormal. Para copiar un resultado, este operador tendría que dejar el operador copiado sin cambios y los únicos operadores que deja sin cambios son los operadores normales. Los operadores normales que representan si algo sucede o no son proyectores, por lo que los valores adjuntos a esos proyectores, valores propios, representan posibles resultados de medición.

Para una discusión más detallada ver

http://arxiv.org/abs/quant-ph/0703160 .

Leí la mayor parte del periódico. No puedo decir que entiendo cada paso (tal vez haré una nueva pregunta para abordar lo que no entiendo en el documento) ¿Esto dice que la regla de Born se puede derivar confiando en un argumento de simetría y no función de onda? -colapso de los axiomas de QM? ¿No es un gran problema afirmar que ha resuelto el problema de medición de QM? ¿Es este artículo controvertido?

Los valores propios son observables físicos

steven sagona

usuario26143

curioso

Burbuja

steven sagona

steven sagona

curioso

Respuestas (2)

yuggib

curioso

yuggib

curioso

yuggib

steven sagona

yuggib

alanf

steven sagona

¿El valor esperado es siempre un valor propio?

Valores propios, operadores hermitianos y observables en mecánica cuántica

¿Por qué el valor medido de algún AAA observable es siempre un valor propio del operador correspondiente?

Encontrar medidas en operadores no hermitianos

¿Por qué usamos valores propios para representar valores observados en mecánica cuántica?

¿Por qué usamos operadores hermitianos en QM?

¿Valores propios de un campo cuántico?

¿Los vectores propios son siempre ortogonales entre sí?

¿Por qué los operadores pueden representarse como matrices en la mecánica cuántica?

¿Se cumple la ecuación de incertidumbre de Heisenberg cuando uno de los observables tiene varianza cero?