¿Por qué el valor medido de algún AAA observable es siempre un valor propio del operador correspondiente?

Estás preguntando lo que podría ser una pregunta muy profunda. Pero permítanme adoptar un enfoque no tan profundo para responder que llega a la naturaleza de la ciencia.

Es un hecho experimental que solo medimos valores particulares de cantidades a nivel cuántico. Eso es todo. A la naturaleza no le importan los valores propios ni los operadores; solo los humanos lo hacen. Dicho esto, los físicos, basándose en tales observaciones, han desarrollado un modelo que puede predecir los resultados de los experimentos. Parte de este modelo involucra operadores y valores propios porque describe la naturaleza y puede hacer predicciones.

Las matemáticas son una disciplina muy poderosa. Uno puede tener un número muy grande de teorías, empezando por el álgebra, pasando por teorías topológicas, y se basan en una autoconsistencia interna muy estricta. Comienzan con axiomas, desarrollan dependencias funcionales y toda la construcción matemática es autónoma. Es por eso que uno tiene pruebas en las proposiciones matemáticas, se puede demostrar que las proposiciones son verdaderas o falsas, y no puede haber discusión al respecto porque las matemáticas son una hermosa disciplina autoconsistente.

La física desde la época de Newton en adelante utiliza las matemáticas como herramienta de modelado. Las observaciones y datos experimentales que se van acumulando se ajustan matemáticamente, por ejemplo la caída de proyectiles por una parábola. En el mejor de los casos se tiene una teoría, la mecánica clásica por ejemplo, que se describe mediante un modelo matemático completo. Para que el modelo matemático sea predictivo y relevante para los datos, se deben imponer tipos adicionales de axiomas, llamados postulados ahora y "leyes" antes, como las tres leyes de Newton.Por ejemplo. Así es como los hermosos modelos matemáticos pueden volverse relevantes para las mediciones y las observaciones en el mundo físico. Esto significa que, a diferencia de las matemáticas, no se puede demostrar que una teoría física es correcta, solo se puede validar o falsear mediante predicciones erróneas. Si surge una inconsistencia en las predicciones, el problema no estará en el marco matemático, sino en los postulados que habrá que cambiar. Ejemplo de pasar de la mecánica clásica a la mecánica relativista, porque había datos que no concordaban con la mecánica clásica.

De manera similar, la mecánica cuántica se hizo necesaria cuando las observaciones alcanzaron escalas nanométricas y de menor longitud, y la teoría física depende de un modelo matemático estrictamente construido (existen varias versiones de las matemáticas) y postulados que relacionan los números matemáticos con las observaciones.

Aquí hay una lista de los postulados de la mecánica cuántica expresados ​​matemáticamente por la ecuación de Schrödinger.

1. Asociada con cualquier partícula que se mueva en un campo de fuerza conservativo hay una función de onda que determina todo lo que se puede saber sobre el sistema.
2. Con cada observable físico q hay asociado un operador Q, que al operar sobre la función de onda asociada con un valor definido de ese observable producirá ese valor multiplicado por la función de onda.
3. Cualquier operador Q asociado a una propiedad q físicamente medible será hermitiano.
4. El conjunto de funciones propias del operador Q formará un conjunto completo de funciones linealmente independientes.
5. Para un sistema descrito por una función de onda dada, el valor esperado de cualquier propiedad q se puede encontrar realizando la integral del valor esperado con respecto a esa función de onda.
6. La evolución temporal de la función de onda viene dada por la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.

Usted declara:

Explique por qué cuando hacemos una medición de algún observable A en QM, el valor medido es siempre un valor propio del operador A.

Es por los postulados 2) y 5). Estos son los postulados que permiten una interpretación física de las relaciones matemáticas. Entonces, la respuesta a su "por qué" es "porque" estos postulados son necesarios para que las matemáticas de la mecánica cuántica puedan describir datos en correspondencia uno a uno y predecir nuevos comportamientos. En última instancia, estos postulados son necesarios para modelar el comportamiento de la materia en el microcosmos.

Soy un principiante en probabilidad cuántica y no tengo experiencia en física, solo en matemáticas.

Creo que es bueno saber el siguiente punto, pero no pretendo que sea una buena respuesta a la pregunta.

Tu pregunta es sobre el postulado:

Cuando el sistema cuántico está en estado$\psi$y una medida de un observable$A$(una matriz autoadjunta), entonces la naturaleza revela el$k$-th valor propio$\lambda_k$de$A$con probabilidad${|\psi_k|}^2$(la norma cuadrática de la proyección de$\psi$en la línea atravesada por el$k$-ésimo vector propio).

Asumiendo este principio, se puede comprobar que el valor esperado de la medida es

En la probabilidad cuántica de dimensión finita, uno comienza más bien definiendo la "expectativa" de un observable$A$bajo el estado$\psi$por la fórmula anterior.

Esto parece una expectativa en la probabilidad clásica porque es lineal en$A$, jugando el papel de una variable aleatoria. La gran diferencia radica en el hecho de que$\mathbb{E}_\psi$no se define sobre un conjunto de variables aleatorias clásicas, sino sobre el conjunto de matrices autoadjuntas en el espacio de Hilbert subyacente.

Pero siguiendo esta analogía con la probabilidad clásica, es natural decir que la transformada de Fourier de$A$es la función de$t$

Ahora bien, uno puede comprobar que

Por eso mi respuesta no es satisfactoria: para resumir, solo afirmo que si , en lugar de postular la regla de los autovalores, se postula que la medida promedio de$A$bajo$\psi$es

Vamos a las matemáticas. La forma en que describimos estas cosas es en términos de operadores lineales que actúan en un espacio lineal. Cada elemento del espacio lineal$|\psi\rangle$codificar posibles preparaciones de la medida. Y cada operador hermitiano$A$está asociado con algo que podemos medir. El valor esperado del observable se define como:

Si elegimos un vector propio de$A$tenemos eso:

por lo tanto, no tenemos fluctuaciones sobre el resultado. Entonces, podemos determinar el valor propio de$A$como el valor "verdadero" del observable en este estado. Estos vectores propios y valores propios deben existir porque si mides la energía, y luego la energía una y otra vez, el resultado no fluctúa (esto es un hecho de la Naturaleza).

Otros hechos de la Naturaleza nos pueden orientar para otras conclusiones acerca de cómo debe ser su descripción en términos de operadores lineales sobre espacios lineales. Si mide algo en un resultado, todos los demás resultados se excluyen como posibles resultados de una medición repetida. Con esto, puede ver por qué los operadores deben ser hermitianos (vectores propios ortogonales + valores propios reales). Cada valor propio es un posible valor esperado con fluctuación cero. Entonces, son las cosas posibles que podemos medir sobre lo observable.

Podemos construir algo así: cada observable físico$A$son descritos por:

con$|\alpha\rangle$siendo la preparación del sistema después de la medición de$A$al valor$\alpha$. Y luego, el principio de incertidumbre puede ser codificado por la existencia de algunos observables$B$con$|\beta\rangle$no es paralelo a cada uno de esto$|\alpha\rangle$estados O, en otras palabras,$[A,\,B]\neq 0$.

Si mides el mismo observable dos veces, obtienes la misma respuesta. La forma de la mecánica cuántica de hacer cumplir esto es que después de la primera medición, el sistema se deja en un estado que tiene un valor definido de lo observable.

El comentario de @Virgo es en realidad parte de la respuesta. Es un axioma de la mecánica cuántica. Por lo tanto, la respuesta principal correcta es que nadie lo sabe.

Tuve la misma duda cuando comencé a aprender QM. Aunque mi explicación a esto es vaga, pero da una idea general. (Encontré esto en Introducción a la Mecánica Qunatum, David J Griffith) Normalmente, cuando mides una Q observable en un conjunto de sistemas preparados de manera idéntica, todos en el mismo estado$\Psi$, no obtienes el mismo resultado cada vez. Preparemos hipotéticamente un estado tal que cada medición de Q devuelva con certeza el mismo valor (llámelo q). Este estado se llama estado determinado. La desviación estándar de Q, en este estado sería cero,