¿Valores propios de un campo cuántico?

Si trato de medir el campo en un punto del espacio-tiempo, debería obtener un valor real que debería ser un valor propio del campo cuántico, ¿verdad? Supongo que los vectores propios del campo cuántico también viven en el espacio de Fock.

Sí, eso es básicamente correcto. Si el valor del campo en un punto es observable, los valores propios del operador que lo representa son los valores que el campo puede alcanzar en ese punto. Y los vectores propios viven en el espacio de estados de Hilbert, que se puede pensar (al menos conceptualmente) como$L^2(\{\mbox{initial boundary conditions}\})$. Este espacio de Hilbert es un espacio de Fock en teorías de campo libre.

Hay un par de sutilezas que vale la pena mencionar:

El valor del campo en un punto podría no ser un observable físico. En electrodinámica, por ejemplo, en realidad no se puede medir el valor$A_\mu(x)$de un componente de la conexión 1-forma; en cambio, puede medir cantidades invariantes de calibre como la curvatura$F_A(x)$y la holonomía$Hol_L(A)$a lo largo de un bucle$L$. Asimismo, en modelos sigma no lineales, donde los campos clásicos son mapas$\phi: \Sigma \to X$a algún colector curvo, no se puede medir el valor$\phi(x)$. Los valores propios son números complejos, no puntos en una variedad. Pero obtienes un observable real$\mathcal{O}_f(x)$para cada función$f: X \to \mathbb{R}$; medir el valor de$f(\phi(x))$.

Tampoco es estrictamente correcto decir que los campos cuánticos son funciones con valores de operador en el espacio-tiempo. El problema físico es que si mide el valor del campo en un punto, alterará el campo cerca de ese punto, afectando los valores en otros puntos cercanos. Cuanto más cerca mires del lugar donde hiciste la medición, mayor será la perturbación; incluso en la teoría del campo escalar libre, la función de correlación de 2 puntos$\langle \phi(x) \phi(y) \rangle$explota como$x \to y$. Esto le dice que los campos no son del todo funciones, porque no puede multiplicar los observables de 'valor en un punto' cuando viven en el punto exacto.

Lo matemáticamente correcto es pensar en el campo (y más generalmente en los observables locales construidos a partir de campos) como una distribución con valores de operador. Las distribuciones son una leve generalización de funciones; son objetos que no tienen valores en un punto, pero que tienen valores medios en una región arbitrariamente pequeña (pero finita). Básicamente, para cualquier función de prueba$f$en tu espacio-tiempo, obtienes un operador$\phi(f)$que se puede considerar como medir el valor "$\int f(x) \phi(x) dx$" de$\phi$muestreado por una sonda con resolución$f$. Las distribuciones solo se pueden multiplicar cuando sus singularidades no coinciden; exhiben el mismo comportamiento desagradable que los operadores de campo cuánticos.

Probablemente no tengas que preocuparte demasiado por esto. Por un lado, incluso si no puede (estrictamente hablando) definir un operador$\phi(x)$, aún puede hablar con seguridad sobre la función de correlación$\langle \phi(x)\phi(y)\rangle$. (Es la función kernel del mapa multilineal$(f,g)\mapsto \langle \phi(f)\phi(g) \rangle$.)

Los físicos no pasan mucho tiempo preocupándose por resolver el problema del valor propio para los operadores de campo. Por lo general, el espectro es todo$\mathbb{R}$, y encontrar los vectores propios no vale la pena. Sin embargo, hay una excepción importante: en el modelo estándar, es muy importante que el vector de vacío sea un vector propio de los operadores de campo de Higgs, con un valor propio distinto de cero.

Los vectores propios de un campo cuántico son estados con un valor definido del campo:

Estos no son estados que tengan un número definido de partículas, es decir, son superposiciones de estados del espacio de Fock con diferente número de partículas. La forma más fácil de ver esto es escribir el operador de campo en términos de operadores de creación y aniquilación (esquemáticamente):

y tenga en cuenta que esto no conmuta con el operador de número de partículas$\hat{N} = \sum_k a^\dagger_k a_k$:

Entonces, no puede tener un estado que sea simultáneamente un estado con un valor definido del campo y un estado con un número definido de partículas.