¿Por qué usamos todo el radio vector en el momento angular y no solo el vector unitario?

La respuesta a esto es cierta para todas las definiciones en física. Usted está preguntando por qué el momento angular se define como$\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p$en lugar de$\mathbf L=\hat r\times\mathbf p$. La respuesta es porque la primera es muy útil. En otras palabras, no solo es útil conocer la orientación del momento$\mathbf p$en relación con el origen, también es importante saber a qué distancia del origen estás.

Estoy seguro de que hay muchas, muchas maneras de mostrar por qué la distancia es importante. Una de esas formas es a través del torque.$\boldsymbol\tau=\mathbf r\times\mathbf F$. Estoy seguro de que puede pensar en algunos ejemplos del mundo real en los que usar todo el$\mathbf r$el vector es importante; por ejemplo, al abrir una puerta, ¿es mejor empujar la puerta más cerca o más lejos de la bisagra? ¿Es mejor empujar perpendicular o paralelo a la puerta? El par y el momento angular están relacionados a través de una derivada del tiempo: la tasa de cambio del momento angular total de un sistema es igual al par externo que actúa sobre él, es decir$\boldsymbol\tau=\mathbf{\dot L}$. Esta relación no se mantendría si se utilizara el último momento angular propuesto.

¿Estaría mal intentar usar lo que propones? Ciertamente no. ¿Sería útil? No estoy seguro, pero si lo es, necesitaría mostrar por qué es útil. De cualquier manera, parece que estás retrocediendo. Parece que tiene una idea de cómo "debería ser" el momento angular, pero no es así como determinamos cantidades útiles en física. Sería como si dijera que quiero definir un nuevo concepto llamado "momento ultrafino", y quiero llegar a una ecuación para ello. Esto no tiene sentido, porque ¿cómo sabría cuál es la "definición correcta" para esta cosa aleatoria que estoy decidiendo usar?

En otras palabras, la pregunta no es: "Quiero definir el momento angular, ¿cuál debería ser la definición?" La pregunta es: "Esta cosa aquí,$\mathbf r\times\mathbf p$, sigue apareciendo. ¿Podría ser esta una cantidad importante/fundamental para ciertos sistemas?" Resulta que mantener todo el$\mathbf r$El vector en esta definición resulta ser muy útil para muchos sistemas en muchas ramas de la física, por lo que lo mantenemos así y le hemos dado el nombre de "momento angular".

El momento angular es el momento de la cantidad de movimiento , así como el momento de torsión es el momento de la fuerza y ​​la velocidad es el momento de la rotación .

Todos los momentos de xxx cantidades se evalúan utilizando el vector de radio completo desde el brazo de momento (distancia perpendicular mínima) hasta la línea donde se necesita la cantidad que actúa.

$$\matrix{ \text{(moment of rotation)} = \boldsymbol{r} \times \text{(rotation)} & \} & \boldsymbol{v} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\omega} & \} & v = d_\perp\, \omega }$$

$$\matrix{ \text{(moment of momentum)} = \boldsymbol{r} \times \text{(momentum)} & \} & \boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} & \} & L = d_\perp\, p }$$

$$\matrix{ \text{(moment of force)} = \boldsymbol{r} \times \text{(force)} & \} & \boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} & \} & \tau = d_\perp\, F }$$

Consulte también esta respuesta sobre por qué productos cruzados en física relacionados con el brazo de momento (distancia mínima a la línea).

Sin embargo , la verdad del asunto es que el momento angular (y todos los demás momentos de xxx) solo nos dicen dónde está actuando el momento. Es una cantidad suplementaria que describe la geometría de un problema. Ver esta respuesta preguntando de par es una cantidad fundamental. El mismo argumento se aplica al momento angular.

Cuando se conserva el momento angular, significa que no solo se conserva la magnitud y la dirección del momento, sino también la línea en el espacio a través de la cual actúa el momento. El lugar donde actúa el impulso se denomina comúnmente centro de percusión , aunque en realidad es un eje.