Impulso y cantidad de movimiento en un sistema de tres partículas (triángulo equilátero)

Question

Impulso y cantidad de movimiento en un sistema de tres partículas (triángulo equilátero)

Meclásico

Encontré este ejercicio en un libro de texto que proporcionó únicamente la descripción de lo que está sucediendo y las respuestas con poca explicación. Dado que se proporciona la solución, lo que más me interesa es comprender qué está sucediendo. Considere el siguiente sistema compuesto por tres partículas, cada una de masa $m$ , conectados por varillas rígidas sin masa en forma de triángulo equilátero. El sistema está inicialmente en reposo (partícula $A$ está por encima de la partícula $B$ en el estado inicial). un impulso $\hat{F}$ es aplicado a $A$ , haciendo que la partícula $B$ deslizarse sin fricción sobre una base de apoyo.

La idea es resolver los valores de $\dot x$ y $\dot \theta$ velocidades inmediatamente después del impulso; y evaluar el impulso de restricción $\hat{N}$ .

Mi idea inicial era utilizar el impulso lineal, centrándome en el $x$ dirección primero. Como la partícula B se deslizará, la aceleración lineal del sistema sería $3m\ddot x$ . Tomando la partícula B como punto de referencia, y dado que el centro de masa del sistema estaría realizando un movimiento de arco, su aceleración $x$ componente (tangencial) directamente después del impulso sería $ml\sqrt{3}\ddot\theta$ (el radio seria $l/\sqrt{3}$ ).

Entonces el impulso sería $\hat{F}=3m\dot x+ml\sqrt{3}\dot \theta$ .

Pero la solución del libro de texto indica que $\hat{F}=3m\dot x+\frac{3}{2}ml\dot \theta$ .

Así que mi primer problema es: ¿dónde está el $\frac{3}{2}$ ¿viene de? ¿O estoy trabajando esto completamente mal?

Al ver esta solución me pregunté si tal vez esto $\frac{3}{2}ml\ddot \theta$ componente tangencial de la aceleración angular sería el resultado de la adición de un $l/2$ radio (a lo largo del eje vertical) que sería la distancia vertical hacia la partícula C desde B; más el $l$ radio que sería la distancia vertical hacia la partícula $A$ ; multiplicado por $\ddot \theta$ . Lo que daría como resultado un componente "tangencial" a lo largo de la $x$ eje de $\frac{3}{2}ml\ddot \theta$ . ¿Sería esta una propuesta aceptable?

Mi idea entonces fue enunciar el impulso angular como la variación del momento angular, resultando en la multiplicación de $\hat{F}$ por la distancia entre partícula $B$ y el centro de masa: $l/\sqrt{3}$ . De esta manera terminaría con un sistema de dos ecuaciones y dos variables y resolvería $\dot x$ y $\dot \theta$ .

Solo que, nuevamente, la solución proporcionada está bastante lejos de mi idea porque establece que $\hat{F}l = \frac{3}{2}ml\dot x + 2ml^2\dot \theta$ . Y veo poca relación con la ecuación del impulso lineal.

Respuestas (1)

Impulso y cantidad de movimiento en un sistema de tres partículas (triángulo equilátero)

Meclásico · Answer 1

Esta pregunta no obtuvo votos ni respuestas, tal vez porque resultó que no fue tan complicado. En cualquier caso, todavía propongo una respuesta detallada por si acaso.

Resolviendo para $\dot x$ y $\dot \theta$

El impulso aplicado en la parte superior se definiría como la variación en el momento lineal del sistema de partículas. Para mayor comodidad, utilizaremos partículas $B$ como punto de referencia.

\hat{j} = \sum_{i = 1}^{3} Δ {pag}_{i}

$\begin{equation} \hat{\mathbf{J}} = \sum\limits_{i=1}^{3}\Delta \mathbf{p_i} \end{equation}$

dónde $\hat{\mathbf{J}}$ es el vector de impulso total que afecta al sistema, compuesto por la horizontal $\hat{F}$ y el impulso de restricción vertical $\hat{N}$ ; y $\sum\limits_{i=1}^{3}\Delta \mathbf{p_i}$ es la suma de la variación del momento lineal de las partículas del sistema. Dado que el sistema está inicialmente en reposo , las velocidades iniciales de sus partículas son nulas, por lo que la variación del momento lineal es simplemente la suma de sus momentos finales individuales.

Porque las partículas $A$ y $C$ están sujetos a una velocidad lineal $\dot x$ resultante del deslizamiento de partículas $B$ ; y a una velocidad angular $\dot\theta$ resultante de la rotación alrededor de la partícula $B$ ; la ecuación anterior se puede desarrollar como:

(\hat{F} \vec{i} + \hat{norte} \vec{j}) = metro ((- yo \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{i} + \frac{yo}{2} \vec{j}) \times \dot{θ} \vec{k} + \dot{X} \vec{i}) + metro (yo \vec{j} \times \dot{θ} \vec{k} + \dot{X} \vec{i}) + metro \dot{X} \vec{i}

$\begin{equation} \left(\hat{F}\,\vec{i}+\hat{N}\,\vec{j}\right) = m\left( \left( -l\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{i} + \frac{l}{2}\vec{j} \right) \times \dot\theta\vec{k} + \dot x\vec{i} \right) + m\left( l\vec{j} \times \dot\theta\vec{k} + \dot x\vec{i} \right) + m\dot x\vec{i} \end{equation}$

dónde $\vec{i}$ , $\vec{j}$ y $\vec{k}$ son vectores unitarios del marco y el $\times$ operador denota el producto cruzado entre vectores. En el lado derecho de la ecuación anterior, el primer término corresponde al momento lineal de la partícula $C$ , el del medio corresponde al momento lineal de la partícula $A$ y el último término es el momento lineal de la partícula $B$ que sólo está sujeto a un movimiento deslizante.

Al desarrollar la ecuación anterior, el $\hat{F}$ y $\hat{N}$ componentes del vector de impulso lineal aplicado $\hat{\mathbf{J}}$ se identifican como el impulso lineal horizontal aplicado a la partícula $A$ :

\hat{F} = 3 metro \dot{X} + \frac{3}{2} metro yo \dot{θ}

$\begin{equation} \hat{F} = 3m\dot x + \frac{3}{2}m l \dot\theta \end{equation}$

y la restricción del impulso lineal aplicada por la base de apoyo sobre la partícula $B$ :

\hat{norte} = \frac{\sqrt{3}}{2} metro yo \dot{θ}

$\begin{equation} \hat{N} = \frac{\sqrt{3}}{2}m l \dot\theta \end{equation}$

Dado que la restricción impulso lineal $\hat{N}$ se considera una consecuencia del impulso lineal $\hat{F}$ y el valor de $\hat{N}$ es desconocido, todavía necesitamos una ecuación para resolver el $\dot x$ y $\dot \theta$ valores. partícula de mantenimiento $B$ como punto de referencia para el momento angular de cada partícula, podemos encontrar $\dot x$ y $\dot \theta$ sin tener que resolver $\hat{N}$ . Por lo tanto, podemos establecer una relación entre el impulso angular en $B$ resultante del impulso lineal sobre la partícula $A$ y la variación del momento angular de cada partícula:

\hat{METRO} = \sum_{i = 1}^{3} Δ H_{i} = \sum_{i = 1}^{3} r_{i} \times Δ {pag}_{i}

$\begin{equation} \hat{\mathbf{M}} = \sum\limits_{i=1}^{3}\Delta \mathbf{H_i} = \sum\limits_{i=1}^{3}\mathbf{r}_i \times \Delta \mathbf{p_i} \end{equation}$

dónde $\hat{\mathbf{M}}$ representa el impulso angular alrededor de la partícula $B$ del impulso lineal $\hat{F}$ aplicado en $A$ ; $\sum\limits_{i=1}^{3}\Delta \mathbf{H_i}$ representa la suma de los momentos angulares individuales alrededor $B$ de partículas $A$ y $C$ ; y $\mathbf{r}_i$ es el vector que va de $B$ a las demás partículas.

En el lado izquierdo de la ecuación anterior tenemos

\hat{METRO} = \hat{F} \vec{i} \times yo \vec{j} = \hat{F} yo \vec{k}

$\begin{equation} \hat{\mathbf{M}} = \hat{F}\,\vec{i} \times l\vec{j} = \hat{F}l\vec{k} \end{equation}$

y del lado derecho, ya que las velocidades iniciales tenemos:

\sum_{i = 1}^{3} r_{i} \times Δ {pag}_{i} = (- yo \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{i} + \frac{yo}{2} \vec{j}) \times (metro (\frac{yo}{2} \dot{θ} + \dot{X}) \vec{i} + metro yo θ \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{j}) + yo \vec{j} \times metro (yo \dot{θ} + \dot{X}) \vec{i}

$\begin{equation} \sum\limits_{i=1}^{3}\mathbf{r}_i \times \Delta \mathbf{p_i} = \left( -l\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{i} + \frac{l}{2}\vec{j} \right) \times \left( m\left( \frac{l}{2}\dot\theta + \dot x \right)\vec{i} + ml\theta\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{j} \right) + l\vec{j} \times m(l\dot\theta + \dot x)\vec{i} \end{equation}$

donde el primer producto vectorial representa el momento angular de la partícula $C$ alrededor $B$ ; y el segundo producto vectorial representa el momento angular de la partícula $A$ alrededor $B$ . Desarrollando esta última ecuación con la de $\hat{M}$ justo antes, encontramos que

\hat{F} yo = \frac{3}{2} metro yo \dot{X} + 2 metro {yo}^{2} \dot{θ}

$\begin{equation} \hat{F}l = \frac{3}{2}ml\dot x + 2ml^2\dot\theta \end{equation}$

Por lo tanto, al recordar la ecuación del impulso lineal horizontal mientras se forma un sistema con la ecuación anterior,

\hat{F} = 3 metro \dot{X} + \frac{3}{2} metro yo \dot{θ}

$\begin{equation} \hat{F} = 3m\dot x + \frac{3}{2}m l \dot\theta \end{equation}$

podemos resolver para los valores de $\dot x$ y $\dot\theta$ :

\dot{θ} = \frac{2 \hat{F}}{5 metro yo}

$\begin{equation} \dot\theta = \frac{2\hat{F}}{5ml} \end{equation}$

y

\dot{X} = \frac{2 \hat{F}}{15 metro yo}

$\begin{equation} \dot x = \frac{2\hat{F}}{15ml} \end{equation}$

Resolviendo para el valor de la restricción de impulso lineal $\hat{N}$

Recordando la ecuación del impulso lineal vertical obtenida anteriormente

\hat{norte} = \frac{\sqrt{3}}{2} metro yo \dot{θ}

$\begin{equation} \hat{N} = \frac{\sqrt{3}}{2}m l \dot\theta \end{equation}$

e inyectando el valor de la velocidad angular $\dot\theta$ justo arriba:

\hat{norte} = \frac{\sqrt{3}}{5} \hat{F}

$\begin{equation} \hat{N} = \frac{\sqrt{3}}{5}\hat{F} \end{equation}$

Impulso y cantidad de movimiento en un sistema de tres partículas (triángulo equilátero)

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