¿Alguien puede proporcionar una relación intuitiva entre la velocidad lineal y angular?

Creo que podría ser útil considerar un caso de movimiento circular uniforme . El OP ya es consciente de su derivación general a través de la diferenciación , pero el movimiento circular uniforme puede ayudar a desarrollar algo de intuición .
Considere que un objeto experimenta un movimiento circular con velocidad angular constante$\omega$y por lo tanto velocidad constante$v$. Un ángulo completo es$2 \pi$, por lo que podemos afirmar:

Ahora que hemos derivado esta ecuación, notamos que mientras$\omega$nos dice la velocidad a la que se cubre el ángulo en radianes, multiplicándolo por$R$nos lleva a la velocidad a la que se traza la circunferencia.

Puedes escribir la velocidad en cm/s, o m/s, o km/h... por ejemplo, la velocidad física$v$puede expresarse como

dónde$L$y$T$son cantidades genéricas de longitud y tiempo, mientras que$v_{L/T}$es el "valor" de$v$cuando tomas$L$y$T$como unidades.

Si estás en un círculo de radio$R$, entonces tienes una unidad natural de longitud,$R$, y una unidad natural de tiempo, el período$P$. Llevar$T=s$ser el "segundo" habitual, entonces

Aquí$v_{R/s}$es la velocidad angular (la velocidad medida en unidades "naturales" siempre es$v_{R/P} =2 \pi$).

Para el movimiento circular no uniforme es exactamente lo mismo, pero tienes que trabajar con derivadas temporales. Lo mismo funciona también para el movimiento no circular, pero debe aproximar la trayectoria localmente con un círculo (mediante Taylor expandiendo la trayectoria), o elegir un "polo" para medir la velocidad angular.

respuesta sencilla

De la geometría, sabes que la longitud de un arco es$s = r\, \theta$dónde$r$es el radio del arco, y$\theta$el ángulo que abarca.

Tome la derivada temporal de lo anterior, ya que el arco describe el movimiento de una partícula que viaja sobre un cuerpo giratorio y tiene

Entendimiento profundo

Espero que esté familiarizado con los vectores porque en este nivel la cinemática (el estudio del movimiento) se vuelve más intuitiva que en el nivel de componentes. Específicamente, debe estar familiarizado con el concepto del producto vectorial y el producto escalar entre dos vectores. Más importante aún que una expresión de la forma$\text{(position)}\times\text{(something)}$nos introduce en el concepto del brazo de palanca .

Junto con el brazo de palanca, surge el concepto de momento de . Donde el torque es el momento de la fuerza$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$, y la velocidad de traslación es el momento de rotación$\vec{v} = \vec{r} \times \vec{\omega}$.

Hablemos de la velocidad de rotación (vector)$\vec{\omega}$

Usaré tres aspectos diferentes del movimiento para hablar sobre la velocidad de rotación.

• [Cinemática] $\vec{\omega}$es una herramienta matemática para simplificar la descripción del movimiento de un cuerpo rígido. En lugar de especificar vectores de velocidad en cada punto de un cuerpo , la velocidad de rotación nos permite un cálculo conveniente utilizando la velocidad de un punto para estimar la velocidad de todos los demás puntos.

  $$\vec{v}_{\rm point} = \vec{v}_{\rm ref} + \vec{\omega} \times \vec{r}$$

• [Campo vectorial] $\vec{\omega}$es difícil de visualizar porque se puede medir directamente a partir del movimiento observado, a diferencia de la velocidad de traslación$\vec{v}$que se puede medir directamente en cada punto. La detección rotacional es un tema fascinante. Pero comprenda que el verdadero movimiento general de un cuerpo rígido se describe mediante un campo vectorial de velocidad con un componente giratorio y un componente de traslación paralelo. Esto se llama Teorema de Chasles .

• [Geometría] $\vec{\omega}$es clave para comprender la geometría subyacente del movimiento. Por geometría, me refiero a puntos clave y líneas en el espacio que brindan información sobre el movimiento. El concepto de eje de rotación es de lo que estoy hablando aquí.

Entonces, ¿cómo definir$\vec{\omega}$? Cada uno de los tres aspectos anteriores tiene su propia definición de movimiento de rotación, y cada uno está hablando de lo mismo.

• Usando la cinemática, describiría la derivada de un vector montado en un marco giratorio para establecer la regla general de que

  $$\frac{{\rm d} \vec{A} }{{\rm d}t} = \frac{ \partial \vec{A}}{\partial t} + \vec{\omega} \times \vec{A}$$ que se usa para encontrar los movimientos de partículas en cuerpos y derivar la ecuación cinemática que se ve arriba. Este es un tipo de argumento circular, ya que el concepto de velocidad de rotación de un marco simplemente se incluye allí y, como todo funciona, significa que nuestra suposición fue correcta.

• El uso del campo vectorial descrito por puntos que se mueven, pero mantienen sus distancias fijas entre sí, también conduce a una definición de$\vec{\omega}$. La matemática es un poco más compleja, pero tomando la distancia entre dos puntos A y B como$\ell_{AB} = \sqrt{ (\vec{r}_A - \vec{r}_B) \cdot ( \vec{r}_A - \vec{r}_B)}$y la diferenciación en el tiempo con la regla de la cadena produce algo como

  $$(\vec{r}_A - \vec{r}_B) \cdot ( \vec{v}_A - \vec{v}_B) = 0$$ que se resuelve mediante un movimiento relativo de rotación o un movimiento de traslación puro. El movimiento absoluto es la combinación de los dos y de ahí el teorema de Chasles.

• Usando geometría puedes mostrar que hay un lugar geométrico de puntos en el espacio que describe una línea infinita. En esta línea, el movimiento de las partículas del cuerpo es solo paralelo a la línea. Esta es la definición del eje de rotación. Esta velocidad en el eje se descompone como un múltiplo escalar del vector de rotación$\vec{v}_{axis} = h\, \vec{\omega}$dónde$h$se llama paso y es la relación entre la velocidad de traslación y la velocidad de rotación. El movimiento de todas las partículas en un cuerpo se describe por la ubicación del eje de rotación.$\vec{r}$, el tono$h$y la magnitud y dirección de la velocidad de rotación$\vec{\omega}$

  $$\vec{v} = h\,\vec{\omega} + \vec{r} \times \vec{\omega}$$ Puede alternar entre los 3 componentes de velocidad y la descomposición geométrica de$\vec{r}$,$h$y$\vec{\omega}$libremente.

Lo que llamas velocidad lineal es solo la velocidad clásica de la masa de prueba en m/s. La velocidad angular te dice cuánto "ángulo" cubres por segundo cuando te mueves en un círculo (rotando).

Suponga que hace una rotación completa por segundo. Cuanto mayor sea el radio de la revolución, más rápido tendrá que moverse para cubrir la circunferencia completa. Es por eso que la velocidad lineal crece con el radio si se supone que la velocidad angular permanece constante.