¿Es el par un concepto tan fundamental como la fuerza?

En mecánica no . El par no es una cantidad fundamental. su único trabajo es describir en qué parte del espacio está actuando una fuerza (la línea de acción). Torque simplemente describe una fuerza a distancia. Dada una fuerza$\boldsymbol{F}$y un par$\boldsymbol{\tau}$se puede decir que la fuerza actúa a lo largo de una línea en el espacio con dirección definida por$\boldsymbol{F}$, pero ubicación definida por$\boldsymbol{\tau}$como sigue

$$\boldsymbol{r} = \frac{ \boldsymbol{F} \times \boldsymbol{\tau} }{ \| \boldsymbol{F} \|^2 }$$

_{De hecho, puede deslizar el vector de fuerza en cualquier lugar a lo largo de su línea y no cambiará el problema, por lo que el$\boldsymbol{r}$calculado arriba pasa a ser el punto en la línea más cercana al origen.}

Podría ser más fácil analizar primero el momento angular, ya que el momento de torsión es la derivada del momento angular en el tiempo, al igual que la fuerza es la derivada del momento lineal en el tiempo.

Para una sola partícula con momento lineal$\boldsymbol{p} = m\boldsymbol{v}$ubicado en algún instante en un punto$\boldsymbol{r}$el momento angular es

$$\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}$$

Entonces, ¿dónde está la línea de impulso en el espacio? La línea de impulso se llama eje de percusión. Está localizado en

$$\boldsymbol{r} = \frac{ \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L} }{ \| \boldsymbol{p} \|^2 } = \frac{\boldsymbol{p} \times ( \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p})}{\| \boldsymbol{p} \|^2} = \frac{ \boldsymbol{r} (\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{p}) - \boldsymbol{p} ( \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r}) }{\| \boldsymbol{p} \|^2} = \boldsymbol{r} \frac{ \| \boldsymbol{p} \|^2}{\| \boldsymbol{p} \|^2} = \boldsymbol{r} \; \checkmark$$

siempre que el punto$\boldsymbol{r}$es perpendicular al impulso$\boldsymbol{p}$. Déjame elaborar. Imagina la dirección de la línea siendo$\boldsymbol{\hat{e}} = \boldsymbol{p} / \| \boldsymbol{p} \|$, y considere un punto$\boldsymbol{r} + t \boldsymbol{\hat{e}}$para algún escalar arbitrario$t$. El momento angular será$\boldsymbol{L} = ( \boldsymbol{r} + t \boldsymbol{\hat{e}}) \times \boldsymbol{p} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}$. Entonces, ¿dónde a lo largo de la línea (el valor de$t$) no importa. Finalmente, si$\boldsymbol{r}$ no es perpendicular a$\boldsymbol{p}$siempre se puede encontrar un valor de$t$que hace que el punto sea perpendicular. Colocar$t = -(\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{p}) / \| \boldsymbol{p} \|$y el punto será perpendicular.

_{Tal punto siempre se puede encontrar, y es el punto de la recta más cercano al origen.}

La ley de conservación del momento angular (junto con la ley de conservación del momento lineal) simplemente establece que no solo se conserva la magnitud y la dirección del momento, sino también la línea en el espacio a través de la cual actúa el momento . Entonces, no solo en qué dirección es el punto de impulso, en qué lugar existe el espacio.

Para visualizar esto, considere un caso en el que desee eliminar el impulso de un cuerpo que gira libremente y se mueve en el espacio. Tienes un martillo y necesitas descubrir lo siguiente para detener completamente el cuerpo. a) con cuánto impulso golpearlo (la magnitud), b) en qué dirección girar (dirección) y c) dónde golpearlo (ubicación).

En resumen, las cantidades comunes en mecánica se interpretan de la siguiente manera

$$\begin{array}{r|l|l} \text{concept} & \text{value} & \text{moment}\\ \hline \text{rotation axis} & \text{rot. velocity}, \boldsymbol{\omega} & \text{velocity}, \boldsymbol{v} = \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{\omega} \\ \text{line of action} & \text{force}, \boldsymbol{F} & \text{torque}, \boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} \\ \text{axis of percussion} & \text{momentum}, \boldsymbol{p} & \text{ang. momentum}, \boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} \end{array}$$

Las cosas debajo de la columna de valor son cantidades fundamentales que nos dan la magnitud de algo (así como la dirección). Las cosas debajo de la columna de momento son cantidades secundarias que dependen de dónde se miden y dan uso a la ubicación relativa de las cantidades fundamentales. De ahí los términos par = momento de fuerza, velocidad = momento de rotación y momento angular = momento de momento. Todo lo que significa es que estas cantidades son$\boldsymbol{r} \times \text{(something fundamental)}$y describen el brazo de momento a este algo.

La ubicación de la línea en el espacio es siempre la misma fórmula

$$\text{(location)} = \frac{ \text{(value)} \times \text{(moment)}}{ \text{(magnitude)}^2}$$

dónde$\text{(magnitude)}$es siempre la magnitud de la$\text{(value)}$vector.

En estática, por ejemplo, aprendemos a equilibrar fuerzas y momentos, lo que debe interpretarse como equilibrar la magnitud de la fuerza y ​​la línea de acción de la fuerza.

La pregunta original está etiquetada como "mecánica newtoniana", pero el autor también habla de "fuerzas fundamentales", por lo que supongo que puede ser de interés señalar algunos fenómenos fundamentales que son observables con objetos macroscópicos clásicos, pero que son, estrictamente hablando, más allá de la mecánica newtoniana.

En mecánica cuántica, el momento angular de un fotón es fundamental. Cuando los fotones polarizados circularmente se absorben o los fotones se dispersan con un cambio de polarización, la transferencia de su momento angular se puede detectar como un par macroscópico, por ejemplo, haciendo que objetos pequeños pero macroscópicos giren.

Este efecto no depende de dónde incide el fotón en el objeto con respecto a su centro de masa.

(Discusión anterior relevante para la pregunta del OP: ¿es posible aplicar un par sin un brazo de momento? )

Cuando se absorbe un fotón, su momento angular provoca el cambio del momento angular de los electrones en el objeto. A través de algunos mecanismos de relajación, el momento angular de los electrones se transfiere a la rotación macroscópica del objeto. No estoy seguro de cuáles son exactamente estos mecanismos: el tratamiento adecuado de cómo se transfiere el momento angular a la red no es un tema trivial: https://arxiv.org/pdf/1802.01638.pdf

La interpretación clásica simple de la situación es: el fotón induce un momento dipolar en el medio absorbente, y este dipolo experimenta un par de torsión del campo eléctrico giratorio del fotón; la situación se asemeja a lo que sucede en el motor de inducción.

Experimento temprano (¿el primero?) con la dispersión de fotones: "Detección mecánica y medición del momento angular de la luz" Richard A. Beth 1936 https://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.50.115

Uso de fotones para hacer girar objetos pequeños pero macroscópicos: "... al utilizar la transferencia del momento angular de giro de fotones, también es posible poner objetos en movimiento de rotación simplemente apuntándolos con un haz de luz polarizada circularmente" "Giro ultrarrápido de nanopartículas de oro en agua usando luz polarizada circularmente" 2013 https://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/nl4010817

(La luz puede transportar un momento angular no solo en el giro de los fotones sino también como un momento angular orbital. Consulte la respuesta de Emilio Pisanty aquí: giro de fotones y momento angular total )

(Esta respuesta se ha actualizado para abordar las preguntas de los comentarios).

En la medida en que el par (o momento) se deriva de la fuerza, entonces la fuerza es más "fundamental" que el toque.

Sin embargo, el torque es ciertamente más que solo fuerza con "equipaje" adicional. Y se trata de algo más que sistemas de coordenadas. El par y la fuerza no son una cuestión de uno u otro. Ambos son necesarios para el análisis del movimiento y el equilibrio.

Momento, que es otro término para torque, es un concepto fundamental en estática. Por ejemplo, en estática se necesitan fuerzas y momentos para determinar el equilibrio estático. Las fuerzas provocan un movimiento en línea recta. Los momentos provocan un movimiento de rotación. Los requisitos para el equilibrio son que la suma de los momentos y las fuerzas debe ser cero. Y va más allá de la estática. Los momentos flectores y las fuerzas cortantes son fundamentales para el estudio de la mecánica de materiales.

Aprenderá a apreciar la diferencia cuando estudie estática, dinámica y mecánica de materiales.

Espero que esto ayude

Sí, los conceptos de fuerza y ​​torque son igualmente fundamentales.

El teorema de Noether establece que cada simetría en un sistema físico corresponde a una ley de conservación. La simetría bajo traslación da como resultado la conservación del momento, del cual la fuerza es la derivada (por lo tanto, la suma de todas las fuerzas en un sistema físico siempre es 0). La simetría bajo rotación da como resultado la conservación del momento angular, del cual el torque es la derivada (por lo tanto, la suma de todos los torques en un sistema físico siempre es 0).

Las simetrías bajo traslación y bajo rotación son igualmente fundamentales para la mecánica, por lo tanto, la fuerza y ​​el par son conceptos igualmente fundamentales.

Desde una perspectiva mecánica puramente newtoniana, diría que la fuerza es un concepto más fundamental que el par. Esto se debe principalmente a que los pares son, a falta de un término mejor, una propiedad de las fuerzas. Además, el par producido por una fuerza depende de su elección subjetiva de en qué punto está calculando el par. Todo esto está capturado en la definición de torque.

$$\boldsymbol\tau=\mathbf r\times\mathbf F$$ dónde$\mathbf F$es el vector fuerza y$\mathbf r$es el vector que apunta desde el punto sobre el que está calculando el par hasta el punto donde se aplica la fuerza.

Tenga en cuenta que esto define el par en términos de una fuerza, pero no puede determinar una fuerza a partir de un par. Para una dada$\boldsymbol\tau$y un dado$\mathbf r$no hay una fuerza única$\mathbf F$. Por lo tanto, esto también da la impresión de que la fuerza es un concepto más fundamental.

También tenga en cuenta que la definición de torque no depende de si estamos usando coordenadas polares o no. Puede hablar de fuerzas en coordenadas polares sin hacer referencia al par y puede hablar de pares en coordenadas cartesianas.

Entonces, el torque no es fundamental, sin embargo, eso no significa que no sea útil. Es útil para observar cómo las fuerzas hacen que los cuerpos extendidos se muevan (o no se muevan), y es útil cuando el movimiento tiene simetría rotacional en algún punto (es decir, cuando se conserva el momento angular).

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Yendo más allá de la mecánica newtoniana, diré que el par podría verse como algo más fundamental que en la mecánica newtoniana, pero creo que incluso entonces el enfoque se desplaza al momento angular en lugar del par.

La razón por la que digo esto es porque una vez que llegas al nivel de la física donde el momento angular es fundamental, realmente dejas de hablar de fuerzas y torsiones de todos modos, y lo que se enfoca más es el momento y la energía. Por ejemplo, las mecánicas lagrangiana y hamiltoniana se centran más en la energía que en las fuerzas. La ecuación de Schrodinger trata con energías en lugar de fuerzas.

Además, tenemos un espín que tiene un momento angular asociado, pero no existe un análogo clásico para él. Ni siquiera hablamos de torques cuando tratamos con giro, sin embargo, discutimos mucho el momento angular. Incluso entonces, para el momento angular sin giro, los operadores de momento angular todavía se definen en términos de operadores de momento lineal.

Entonces, supongo que mi punto de vista en todo esto es que el torque no es muy fundamental. En el nivel clásico, los torques son en realidad solo propiedades de las fuerzas. Una vez que profundiza en la física, el enfoque cambia a la energía, el momento y el momento angular. El par cae.

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Para llegar a sus preguntas más prácticas:

Entonces, ¿es arbitrario elegir usar fuerza o torque como base de leyes y problemas? ¿O hay una razón fundamental real para cuándo se debe usar uno u otro?

No diría que es arbitrario, pero tampoco diría que hay ciertas reglas a seguir en cuanto a cuándo el torque es útil o no. Lo que es válido para el uso de torsión en un problema determinado, es válido para cualquier tipo de estrategia de resolución de problemas. Si se da cuenta de que pensar en los torques lo ayudará a resolver el problema, ¡debería usarlo! Por ejemplo, si estamos interesados ​​en el cambio en el momento angular de un objeto giratorio producido por una fuerza, sería útil pensar en el par que produce esta fuerza. Sin embargo, si desea analizar el movimiento de un proyectil cerca de la superficie de la Tierra, no sería muy útil pensar en el par que tiene la fuerza de la gravedad sobre algún punto de referencia (aunque no significa necesariamente que esté equivocado). por intentar analizar el problema de esta manera).

Sí, son igualmente fundamentales porque ambos son "fuerzas" en el mismo sentido. La relación entre momento de torsión, momento angular y ángulos es idéntica a la que existe entre fuerzas lineales, momento lineal y posición.

Toma la ecuación$\mathbf{F} = m \mathbf{a}$. Correctamente, esa ecuación es$\mathbf{F} = \frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t}$. Una forma de leer esa ecuación es "La fuerza neta es la tasa de cambio en el tiempo del momento lineal". También tenemos$\mathbf{\tau} = \frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d}t}$para momentos de torsión y momento angular.

Ahora, la razón por la que los pares de torsión pueden no parecer tan fundamentales se debe al hecho de que gran parte de la mecánica clásica se construye utilizando partículas puntuales que no tienen una orientación hacia ellas. Es un hecho interesante que se puedan aproximar cuerpos macroscópicos usando una construcción de este tipo y recuperar el momento angular como resultado del movimiento colectivo de estas partículas, pero eso no hace que las cantidades angulares no sean fundamentales.

Podrías igualmente hacer la construcción de la mecánica en términos de pequeños cuerpos rígidos, donde cada cuerpo tiene una ubicación y orientación. Esa orientación, definida por ángulos, conducirá naturalmente a que el momento angular, los pares, etc., estén en pie de igualdad con las fuerzas. La razón por la que generalmente no lo hacemos de esa manera es porque agrega mucha complicación y la aproximación de que puede ignorar el momento angular de las partes pequeñas generalmente es correcta, por lo que es mucho trabajo adicional sin beneficio.

Volviendo a las ecuaciones anteriores,$\mathbf{F} = \frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t}$y$\mathbf{\tau} = \frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d}t}$. En cursos de física más avanzados aprendes que el momento lineal es la cantidad que se conserva porque las leyes de la física no dependen de tu posición. También aprenderá que el momento angular se conserva porque esas mismas leyes no dependen de cómo oriente sus ejes de coordenadas. Por lo tanto, el momento lineal y angular están en el mismo plano, y las ecuaciones anteriores pueden entenderse como la velocidad a la que las cantidades conservadas se transfieren entre dos o más cuerpos.

Hay algunas complicaciones adicionales que surgen del hecho de que no puede describir la orientación con un vector: necesita tres ángulos o una matriz de rotación. Son estas complicaciones las que hacen que el par y el momento angular sean más difíciles de manejar, pero eso no los hace menos fundamentales.

Por ejemplo, la "regla de la mano derecha" arbitraria que viene con los productos cruzados es un artefacto que surge del hecho de que en realidad no estás tratando con vectores, sino tratando algo un poco más complicado como un vector (en términos técnicos: rango -2 tensores antisimétricos), que solo es posible en 3-d. La regla de la mano derecha se corrige cuando decides cómo traducir las partes de esos tensores (matrices) a componentes vectoriales. Por ejemplo, podríamos tener las componentes del momento angular ($L_x$,$L_y$,$L_z$) ser:

$$\left[\begin{array}{ccc}0 & L_z & -L_y \\ -L_z & 0 & L_x \\ L_y & -L_x & 0\end{array}\right],$$ pero intercambiar todos los signos menos es una opción igualmente válida. Es la decisión de dónde colocar los signos menos lo que produce las reglas de la mano izquierda frente a la derecha. De manera equivalente, la elección corresponde a preguntar: "¿De qué manera es una rotación por un ángulo positivo?" Lo anterior corresponde a "Ponga el pulgar de su mano derecha en la dirección del eje alrededor del cual está girando y tome el eje. Sus dedos se envolverán alrededor del eje en la dirección de las rotaciones positivas (mirando hacia abajo a su pulgar, en sentido contrario). -agujas del reloj)."

El cuerpo rígido girará alrededor de un punto que se ubica en el centro de masa debido a una fuerza externa$\vec{f}$tan efectivo en el punto$p_1$, el par es entonces:

$$\vec{\tau}_{p1}=\vec{r}_c\times \vec{f}$$

si elegimos otro punto arbitrario$p_2$que se encuentra en la línea de fuerza entonces obtenemos el par

$$\vec{\tau}_{p2}=\left(\vec{r}_c+\lambda \hat{\vec{f}}\right)\times \vec{f}$$

dónde$-\infty < \lambda < \infty$

En el caso de la cabina, la magnitud del par es igual$||\vec{\tau}_{p1}||=||\vec{\tau}_{p2}||$

para$\lambda_\perp=-\frac{\vec{f}^T\,\vec{r}_c}{||\vec{f}||}$obtenemos la distancia más corta al punto del centro de masa, así que:

$$\vec{\tau}_{p\perp}=\underbrace{\left(\vec{r}_c+\lambda_\perp \hat{\vec{f}}\right)}_{\vec{r}_\perp}\times \vec{f}$$

de nuevo la magnitud$||\vec{\tau}_{p\perp}||=||\vec{\tau}_{p1}||$

entonces$p_\perp$no es un cierto punto en absoluto!!

si la fuerza$\vec{f}$es efectivo en el centro de masa, el cuerpo aún puede girar debido al par externo$\vec{\tau}_E$

Para responder tu pregunta.

Si el torque se debe a una fuerza externa entonces no es fundamental porque para calcular el torque se usa la fuerza y ​​un punto en la línea de fuerza, pero en caso de que el torque se deba a un torque externo esto es fundamental.

Es posible (y tal vez natural) darle la vuelta a la pregunta. Como otros han mencionado; El espín del fotón, y el espín del electrón en particular, no pueden identificarse con un concepto de desplazamiento alrededor de un círculo en dimensión espacial, pero participan de las leyes macroscópicas de conservación angular de la misma manera. Podría decirse que la conservación del momento angular es tan fundamental como parece. Pero ¿qué pasa con el momento lineal?

Bueno, si imaginas (sin demasiada pérdida de generalidad) que vivimos en un universo (hiper)esférico, es fácil volver a imaginar cualquier declaración sobre la conservación lineal como una declaración de conservación angular alrededor de un polo correspondiente del universo.

Entonces no, no todo lo relacionado con el momento angular se puede derivar del momento lineal; pero lo contrario puede de hecho ser cierto.