¿Cuál es la diferencia entre el Cálculo de Newton y el de Leibniz?

La notación de Newton, la notación de Leibniz y la notación de Lagrange están en uso hoy en día hasta cierto punto. Son, respectivamente:

Puede encontrar más ejemplos de notación en Wikipedia .

La integral estándar ($\displaystyle\int_0^\infty f dt$) La notación también fue desarrollada por Leibniz. Newton no tenía una notación estándar para la integración.

He leído de "The Information" de James Gleick lo siguiente: Según Babbage, quien eventualmente tomó la cátedra Lucasian en Cambridge que Newton ocupó, la notación de Newton paralizó el desarrollo matemático. Trabajó como estudiante universitario para instituir la notación de Leibniz tal como se usa hoy en Cambridge, a pesar del disgusto que la universidad todavía tenía por el conflicto Newton/Leibniz. Esta notación es mucho más útil que la de Newton para la mayoría de los casos. Sin embargo, implica que puede tratarse como una fracción simple que es incorrecta.

Definitivamente deberías echar un vistazo al segundo capítulo de Arnold's Huygens & Barrow, Newton & Hooke . El difunto profesor Arnold resumió allí la diferencia entre el enfoque de Newton al análisis matemático y el de Leibniz de la siguiente manera:

El análisis de Newton era la aplicación de series de potencias al estudio del movimiento... Para Leibniz,... el análisis era un estudio algebraico más formal de los anillos diferenciales.

La visión general de Arnold sobre las contribuciones de Leibniz al tema está aderezada con un número no despreciable de comentarios que invitan a la reflexión:

En el trabajo de otros geómetras, por ejemplo, Huygens y Barrow, también aparecieron muchos objetos conectados con una curva dada [por ejemplo: abscisa, ordenada, tangente, la pendiente de la tangente, el área de una figura curvilínea, la subtangente, lo normal, lo subnormal, etcétera]... Leibniz, con su tendencia individual a la universalidad [consideraba necesario descubrir la llamada característica, algo universal, que une todo en la ciencia y contiene todas las respuestas a todas las preguntas], decidió que todas estas cantidades deberían ser consideradas de la misma manera. Para ello, introdujo un solo término para cualquiera de las cantidades conectadas con una curva dada y que cumplen alguna función en relación con la curva dada: el término función ...

Así, según Leibniz muchas funciones estaban asociadas a una curva. Newton tenía otro término, fluido, que denotaba una cantidad que fluía, una cantidad variable y, por lo tanto, estaba asociada con el movimiento. Sobre la base de los estudios de Pascal y de sus propios argumentos, Leibniz desarrolló con bastante rapidez el análisis formal en la forma en que ahora lo conocemos. Es decir, en una forma especialmente adecuada para enseñar el análisis de personas que no lo entienden a personas que nunca lo entenderán... Leibniz estableció muy rápidamente las reglas formales para operar con infinitesimales, cuyo significado es oscuro.

El método de Leibniz era el siguiente. Asumió que toda la matemática, como toda la ciencia, se encuentra dentro de nosotros, y sólo por medio de la filosofía podemos dar con todo si prestamos atención a los procesos que ocurren dentro de nuestra mente. Por este método descubrió varias leyes ya veces con mucho éxito. Por ejemplo, descubrió que$d(x+y) = dx+dy$, y este notable descubrimiento lo obligó de inmediato a pensar cuál es el diferencial de un producto. De acuerdo con la universalidad de sus pensamientos, rápidamente llegó a la conclusión de que la diferenciación [tenía que ser] un homomorfismo de anillos, es decir, que la fórmula$d(xy) = dx dy$debe sostener Pero después de un tiempo verificó que esto conduce a algunas consecuencias desagradables y encontró la fórmula correcta.$d(xy) = xdy + y dx$, que ahora se llama regla de Leibniz. Ninguno de los matemáticos de pensamiento inductivo -ni Barrow ni Newton, quien en consecuencia fue llamado un asno empírico en la literatura marxista- podría [haber metido] en la cabeza la hipótesis original de Leibniz, ya que para tal persona era bastante obvio cual es el diferencial de un producto, a partir de un simple dibujo...

Más allá de la cuestión de la notación, Newton experimentó con una serie de enfoques fundamentales. Uno de los primeros involucró infinitesimales, mientras que más tarde se alejó de ellos debido a la resistencia filosófica de sus contemporáneos, a menudo derivada de consideraciones religiosas sensibles estrechamente relacionadas con disputas interconfesionales. Leibniz también estaba al tanto de las disputas, pero usó infinitesimales y diferenciales sistemáticamente en el desarrollo del cálculo, y por esta razón tuvo más éxito en atraer seguidores y estimular la investigación, o lo que llamó el Ars Inveniendi .

De la traducción de Loemker,

"El razonamiento de Leibniz, aunque se esfuerza por una aplicación más amplia de la ley de los cuadrados inversos que solo a la gravedad, es menos general que el de Newton (Principia, Libro I, Proposiciones I, 2, 14), ya que presupone un movimiento armónico".

Leibniz, Gottfried Wilhelm Philosophical Papers and Letters: una selección / traducida y editada, con una introducción de Leroy E. Loemker. 2d ed. Dordrecht: D. Reidel, 1970. p.362

Desde un punto de vista práctico, la notación era muy diferente.

Un punto particularmente delicado para mí es que la notación de Leibniz te permite trabajar incorrectamente con derivadas como si fueran una fracción matemática. Desafortunadamente, esto 'funciona' la mayor parte del tiempo, por lo que todavía se usa, incluso en cursos universitarios, hoy en día.

No creo que haya nada malo con los atajos, hasta el punto de que no interfieren con la comprensión. En este caso, creo que crea un malentendido del tema. Creo que esto por sí solo pone la notación de Newton por encima de la de Leibniz.

No soy historiador, pero tengo que responder esto porque las respuestas anteriores se han equivocado completamente. de Leibniz$\displaystyle \frac{df}{dx}$no es igual a$f'(x)$.

Creo que hay dos diferencias principales entre el cálculo de Newton y el de Leibniz:

• El cálculo de Newton se trata de funciones. El cálculo de Leibniz trata sobre relaciones definidas por restricciones.
• En el cálculo de Newton, hay (lo que ahora se llamaría) un límite integrado en cada operación. En el cálculo de Leibniz, el límite es una operación separada.

Ambos puntos, y en especial el segundo, parecen hoy día mal comprendidos. Cuando la gente escribe lo que parece ser la notación de Leibniz hoy en día, casi siempre están haciendo cálculo funcional newtoniano en una notación extraña e inapropiada. Luego se quejan de que es inconsistente y culpan a Leibniz. No es culpa de Leibniz.

En el cálculo real de Leibniz, cuando escribes$y=x^3$, esa no es una definición de$y$como una función de$x$, es una restricción en válido$(x,y)$tuplas. El lugar geométrico de los puntos válidos puede ser la gráfica de una función, pero las restricciones no funcionales como$x^2+y^2=1$son igualmente aceptables.

$d$aplicado a una expresión le da la diferencia entre su valor en el punto actual y en algún otro punto que satisfaga las restricciones, donde el otro punto depende solo del punto actual y no de la expresión. En otras palabras, si$(x,y)$satisface las restricciones entonces también lo hace$(x+dx,y+dy)$. Supongamos que usamos la restricción$y=x^3$, por lo tanto tenemos

Esto es válido para dos puntos cualesquiera que satisfagan la restricción, si$dx\ne 0$.

$dy/dx$no es igual a$3x^2$(a menos que$dx=-3x$). Pero son iguales en un límite apropiado. Leibniz escribió$dy/dx \mathrel{{}_{\ulcorner\!\urcorner}} 3x^2$para esto. (He visto esta relación llamada adequality . LaTeX (y MathJax) aparentemente no tiene un símbolo para ello. Vea la fuente del terrible truco que usé para escribirlo, que no es mi invención).

Porque$dx$y$dy$se definen en todas partes donde se satisface la restricción, también tenemos

Esto es válido para cualquier tres puntos que satisfagan la restricción. Si cuestiona la legitimidad de esto, una forma de verlo es imaginar que$x$y$y$son funciones de un parámetro arbitrario y$(df)(t)=f(t{+}δt)-f(t)$. La expresión es entonces un enunciado correcto acerca de$x$y$y$evaluado en$t$,$t{+}δt$, y$t{+}2δt$, y estos son puntos arbitrarios ya que el parámetro es arbitrario.

Claramente es un PITA llevar todos estos términos, especialmente cuando sabes que van a desaparecer en un límite. Pero si sabe que van a desaparecer, puede dejarlos pronto. Eso no hace que el cálculo no sea riguroso, al igual que omitir los tediosos pasos algebraicos intermedios (como acabo de hacer) lo hace no riguroso. Lo que lo hace no riguroso es no observar una distinción entre igualdad e igualdad en el límite, porque entonces puedes probar tonterías como$dx=-3x$.

Leibniz escribió$d^2x$como abreviatura de$ddx=d(dx)$, pero no escribió$\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}$( al menos según Wikipedia ). Sospecho que lo habría considerado una abominación, porque no significa$(d^2y)/(dx^2)$, aunque esa es una cantidad significativa en su notación. Significa$d(dy/dx)/dx$. En efecto, el alcance de la parte superior izquierda$d$El operador se extiende fuera del "numerador", hacia el "denominador" y se detiene a la mitad del producto representado por$dx^2$. es como si$fx^2$no significaba$f(x^2)$, no$f(x)^2$, pero$f(x)\cdot x$. Supongo que esta notación fue inventada por personas que pensaron que$\displaystyle\frac{d}{dx}$era solo una forma extraña de escribir un derivado funcional.

Culpo del malentendido moderno de la notación de Leibniz a la falta de una forma estándar de escribir funciones anónimas. si defines$f(x)=x^3$entonces$\dot f$o$f'$es conciso y conveniente, pero a la gente no le gusta tener que nombrar todo. En lugar de inventar una notación sensata y componible como$D(λx.x^3)$o$(x\mapsto x^3)'$, decidieron escribir$\displaystyle\frac{d}{dx} x^3 = 3x^2$, que es inconsistente con la notación de Leibniz y que aún les dejaba sin forma de escribir una función anónima a menos que estuvieran tomando la derivada de ella.