¿Por qué una premisa negativa es suficiente para implicar una conclusión negativa?

Encuentro las 3 afirmaciones verdaderas y no contradictorias. La forma de premisas y conclusión y la función AND, con:
una conclusión inválida cuando ambas premisas son negativas,
una conclusión negativa cuando cualquiera de las premisas es negativa y
una conclusión positiva cuando ambas premisas son positivas.

Cuando una premisa es negativa, la otra debe ser positiva para que la conclusión sea negativa , de lo contrario la conclusión se vuelve inválida (dos negativas).

La afirmación 2 es falsa.

Prueba: ¬(p & ¬q) ⊢ p → q

Prueba 2: "Mi hermano John no es soltero" ⊢ "Mi hermano John está casado"

Ambos son argumentos válidos. Ambos tienen una premisa negativa y una conclusión afirmativa.

Este último es un ejemplo de que probablemente puede reformular cada premisa negativa en una afirmativa, y viceversa.

Por tanto, ni siquiera parece tener sentido distinguir las premisas negativas de las afirmativas.

Dicho esto, probablemente sea posible explicar por qué los autores piensan que 2 es cierto:

En la antigua lógica aristotélica, hay sólo 2 tipos de proposiciones "afirmativas" ("Todas las F son G" y "Algunas F son G"), y 2 tipos de proposiciones "negativas" ("Ninguna F es G", "Algunas F no son G").

Dentro de este sistema, los autores sí tienen razón: una conclusión "afirmativa" no puede derivarse de las premisas "negativas" que este sistema permite.

En cuanto a su pregunta con respecto a 2 y 3, considere el siguiente argumento:

Ningún pez es un mamífero
Algunos animales acuáticos son mamíferos
Ergo: Algunos animales acuáticos no son peces

Este argumento satisface tanto la condición 2 como la condición 3. No veo cómo se contradicen entre sí.

Aquí está la pregunta:

¿Por qué 2 es cierto, por favor? No puedo intuir por qué, porque 3 exteriormente lo contradice.

Prefiero una explicación intuitiva, no una con Tablas de Verdad o Deducción Formal.

Considere las tres declaraciones:

1: Tan pronto como haya dos premisas negativas, el argumento es automáticamente inválido.

2: Si la conclusión es afirmativa, no puede haber premisas negativas. Si hay una premisa negativa, debe haber una conclusión negativa.

3: Sin embargo, se puede llegar a conclusiones negativas mediante una combinación de información negativa y positiva. Incluso una conclusión negativa requiere un respaldo positivo.

Una explicación intuitiva potencialmente útil podría ser este argumento análogo que reemplaza la premisa o conclusión de un silogismo con una identidad afirmativa, x = y , o su negación, x ≠ y .

Hay tres casos a considerar para tres identidades o sus negaciones:

1. Ambas premisas son afirmativas : si a = b y b = c entonces podemos llegar a una conclusión afirmativa: a = c . Así que dos premisas afirmativas de este tipo nos dan una conclusión afirmativa.

2. Una y sólo una premisa es afirmativa : Podríamos tener a = byb ≠ c . O bien, podríamos tener a ≠ b y b = c . En ambos casos hay una conclusión definitiva, pero negativa: a ≠ c .

3. Ambas premisas son negativas : En este caso tenemos a ≠ byb ≠ c . ¿Podemos afirmar que a = c ? No. Si hacemos a = 1 , b = 2 y c = 3 , entonces tenemos un contraejemplo. Entonces esa conclusión afirmativa sería inválida. ¿Podemos afirmar que a ≠ c? No. Si hacemos a = 1 , b = 2 y c = 1 , entonces tenemos un contraejemplo. Entonces esa conclusión negativa también sería inválida.

Aunque estas identidades afirmativas y sus negativas no representan todas las declaraciones posibles en los silogismos, es de esperar que muestren intuitivamente por qué las afirmaciones en el texto de Capaldi y Smit probablemente sean correctas.

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Referencia

Capaldi, N., Smit, M. El arte del engaño: una introducción al pensamiento crítico. Libros de Prometeo.

¿Por qué una premisa negativa es suficiente para implicar una conclusión negativa?

Una premisa negativa es suficiente para requerir una conclusión negativa debido a la distribución de términos en las premisas. Del libro de Capaldi y Smit:

Si la conclusión es afirmativa, no puede haber premisas negativas. Si hay una premisa negativa, debe haber una conclusión negativa.

En el enunciado Todos los P son Q , el término P está distribuido. Esto significa que el enunciado dice algo sobre el grupo de todos los P: todo P es un Q. El enunciado no dice nada sobre el grupo de Q; Todos los P son Q no es equivalente a Todos los Q son P .

En el enunciado Algunos P son Q , ninguno de los términos está distribuido. El enunciado dice que al menos una P es una Q, pero no dice nada más.

Ambos enunciados, Todos y Algunos , son positivos. Añaden información sobre el Grupo P en relación con Q.

Las declaraciones negativas son diferentes. Ellos excluyen. Una conclusión basada en tal premisa debe dar cuenta de la exclusión y, por lo tanto, se convierte en una declaración negativa en sí misma.

En el enunciado No P son Q , ambos términos están distribuidos. Sea lo que sea que se sepa acerca de P, con certeza no es una Q. En el enunciado Algunos P no son Q , el término Q está distribuido. Cualquier otra cosa que sea cierta sobre el Grupo P, con certeza, al menos uno de sus miembros no es un Q.

Referencia:

Distribución, también llamada Distribución de términos, en silogística, la aplicación de un término de una proposición a toda la clase que denota el término.

Enciclopedia Británica, Distribución. https://www.britannica.com/topic/distribution-logic El artículo de Britannica incluye la definición técnica de distribución.