¿Es el enfoque silogístico de Euclides para probar teoremas matemáticos lógicamente insuficiente?

Tiene razón en que la silogística, que corresponde al cálculo de predicados monádicos en términos modernos, es insuficiente para hacer matemáticas. Los formalismos modernos utilizan el cálculo poliádico. Sin embargo, Euclides no usa solo la silogística (de hecho, apenas la usa). Estudios recientes del método de Euclides, especialmente el diagrama de Euclides clásico de Manders, muestran que su uso de la construcción sintética y la lectura de diagramas es irreductible al razonamiento axiomático al estilo de Hilbert y es la herramienta principal de las demostraciones de Euclides. ¿La geometría cae en desgracia?

Kant, al igual que Locke antes que él, vio que las consecuencias analíticas, es decir, derivables en silogística, eran insuficientes para probar incluso los teoremas de la geometría euclidiana, y mucho menos el cálculo, por lo que introdujo construcciones sintéticas a priori para explicar cómo eran posibles las matemáticas no triviales. Pero la distinción motivadora entre argumentos "lógicos" (analíticos) y "geométricos" (sintéticos) en la geometría euclidiana es anterior incluso al mismo Euclides, y ya ocurre en Aristóteles, quien llegó a decir que todo pensamiento requiere la construcción de imágenes (fantasma) en De Memoria et Reminiscentia:

" Ya se ha dado cuenta de la imaginación en la discusión del alma, y ​​no es posible pensar sin una imagen. Porque el mismo efecto ocurre en el pensamiento que en la demostración por medio de diagramas. Porque en el último caso, aunque no haga ningún uso del hecho de que el tamaño del triángulo está determinado, no obstante lo dibujamos determinado con respecto al tamaño [citado de Euclid's Pseudaria por Acerbi .]

La diferencia en la fuerza lógica se analiza extensamente en la Teoría de la geometría de Kant de Friedman :

"Nuestra distinción entre geometría pura y aplicada va de la mano con nuestra comprensión de la lógica, y esta comprensión simplemente no existía antes de 1879 cuando apareció el Begriffsschrift de Frege... Los axiomas de Euclides no implican los teoremas de Euclides solo por lógica. Además, una vez que recordamos que los axiomas de Euclides no son los axiomas usados ​​en las formulaciones modernas... es fácil ver que la afirmación en cuestión es perfectamente correcta. Porque nuestra lógica, a diferencia de la de Kant, es poliádica más que monádica (silogística); y nuestros axiomas para la geometría euclidiana son sorprendentemente diferentes de los de Euclides porque contienen una teoría del orden explícita y esencialmente poliádica. El punto general puede expresarse de la siguiente manera.

[...] ¿Esto... muestra que la axiomatización de Euclides es irremediablemente "defectuosa"? Yo creo que no. Más bien, subraya el hecho de que el sistema de Euclides no es en absoluto una teoría axiomática en nuestro sentido. Específicamente, la existencia de los puntos necesarios no se deduce lógicamente de los axiomas existenciales apropiados. Dado que el conjunto de tales puntos es, por supuesto, infinito, este procedimiento no podría funcionar en un contexto monádico (silogístico). En cambio, Euclides genera los puntos necesarios mediante un proceso definido de construcción: el procedimiento de construcción con regla y compás. "

Después del inicio de la lógica moderna, se reformuló la cuestión de lo analítico frente a lo sintético. Frege y Peirce, por ejemplo, criticaron a Kant por sostener que las matemáticas son sintéticas o por definir "analítica" de manera demasiado estrecha. Su noción de analítica era, por supuesto, mucho más fuerte que la suya debido a una lógica mucho más fuerte, y en ella las matemáticas clásicas son de hecho analíticas. Curiosamente, aunque Frege pensó que esto hacía que la construcción fuera completamente innecesaria según Peirce, la lógica moderna simplemente lo codifica :

Pero ni Kant ni los escolásticos prevén el hecho de que una proposición indefinidamente complicada, muy lejos de ser evidente, puede deducirse a menudo por razonamiento matemático, o por deducción necesaria, por lógica de los relativos, a partir de una definición de la mayor sencillez, sin asumir cualquier hipótesis (de hecho, tal suposición sólo podría simplificar la proposición deducida); y esto puede contener muchas nociones no explícitas en la definición .

[...] Pero Kant, debido al escaso desarrollo que había recibido en su tiempo la lógica formal, y especialmente debido a su total ignorancia de la lógica de los relativos, que arroja una luz brillante sobre toda la lógica, cayó en el error de suponiendo que el razonamiento necesario matemático y filosófico se distinguen por la circunstancia de que el primero utiliza construcciones. Esto no es verdad. Todo razonamiento necesario procede por construcciones; y la única diferencia entre las deducciones necesarias matemáticas y filosóficas es que estas últimas son tan excesivamente simples que la construcción no llama la atención y se pasa por alto.