Cálculo de símbolos de Christoffel a partir de Lagrangian

Me dieron la siguiente métrica para una esfera.

$$g_{\mu\nu} = diag(1, r^2, r^2\sin^2\theta)$$

y encargado de calcular los símbolos de Christoffel. Hay 2 formas que conozco para calcularlos. uno es de la ecuacion

$$2\Gamma^{\alpha}_{\beta\gamma} = g^{\alpha\rho}(g_{\alpha\rho,~\beta} + g_{\beta\rho,~\alpha} -g_{\alpha\beta,~\rho})$$

y la otra forma es del lagrangiano$L$.

Lo que me desconcierta: para el primer método, diga si quiero calcular$\Gamma^{r}_{\theta\theta}$, simplemente obtengo

$$2\Gamma^{r}_{\theta\theta} = g^{rr}(g_{r\theta,~\theta} + g_{\theta r,~\theta} -g_{\theta\theta,~r})$$

y con solo el último término sobreviviendo, obtengo$\Gamma^{r}_{\theta\theta} = -r$. También,$\Gamma^{r}_{\phi\phi} = -r\sin^2\theta$

Para el segundo método tengo$L = g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = \dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + r^2\sin^2\theta\dot{\phi}^2$, y por la ecuación de Euler-Lagrange obtengo la componente radial

$$2\ddot{r} - (2r\dot{\theta}^2 + 2r\sin^2\theta\dot{\phi}^2) = 0$$

y aquí es donde no lo entiendo. tengo que comparar los coeficientes con la ecuacion

$$\ddot{r} + \Gamma^{r}_{\theta\theta}\dot{\theta}^2 = 0$$

extraer$\Gamma^{r}_{\theta\theta}$pero hay esto$2r\sin^2\theta\dot{\phi}^2$término que me impide la comparación directa. Incluso si asumo que la ecuación en realidad puede ser una combinación de 2 ecuaciones, a saber,

$$a\ddot{r} + 2\Gamma^{r}_{\theta\theta}\dot{\theta}^2 = 0$$

y

$$(2-a)\ddot{r} + 2\Gamma^{r}_{\phi\phi}\dot{\phi}^2 = 0$$

dónde$a$es una constante. La única manera de recuperar la correcta$\Gamma^{r}_{\theta\theta}$es para$a=2$. En este caso no sería capaz de recuperar$\Gamma^{r}_{\phi\phi}$. ¿Alguna pista?