Geodésicas: ¿las más rectas o las más cortas? ¿Cuándo y por qué?

En la Relatividad General clásica (es decir, no modificada) uno puede pensar en las geodésicas de dos maneras.

  1. Una forma es decir que una geodésica es la curva que es la más recta (en analogía con el caso plano) entre todas las curvas. Más o menos la historia es así (corríjanme si me equivoco): en el caso plano las geodésicas son de la forma X m ( s ) = s t m + b m dónde t y b son vectores constantes y s es el parámetro de la curva. El vector tangente a la curva es d X m d s = t = C o norte s t asi que

    d t m d s = t v ∂ v t m = 0.
    Esta es una ecuación tensorial y por covarianza general se cumple en un espacio-tiempo general, mutatis mutandis :
    t v ∇ v t m = 0.

  2. Otra forma es obtener la ecuación encontrando el mínimo de la longitud funcional

    L = ∫ gramo ( t , t ) d τ ,
    obtenemos
    d t m d τ + Γ α β m t α t β = 0.
    La ecuación anterior resulta ser simplemente t v ∇ v t m = 0 , con una determinada elección de parametrización.

Las dos formulaciones son por lo tanto equivalentes. Mi pregunta es ¿cuándo y por qué es así? ¿Hay una razón profunda?

Al buscar en el libro de Wald, encontré el siguiente argumento, que no me quedó claro:

"En una variedad con una métrica riemanniana, siempre se pueden encontrar curvas de longitud arbitrariamente larga que conectan dos puntos cualquiera. Sin embargo, la longitud estará acotada desde abajo, y la curva de longitud más corta que conecta dos puntos (suponiendo que el límite inferior de longitud es alcanzado) es necesariamente un extremo de longitud y, por lo tanto, una geodésica. Por lo tanto, el camino más corto entre dos puntos es siempre el camino más recto posible ".

Más adelante en el libro también dice algo sobre los puntos conjugados.

Siempre pensé que tenía que ver con la torsión: si relajamos la condición Γ α β m − Γ β α m = 0 entonces la conexión no es Levi-Civita, por lo tanto d gramo L = 0 permanece invariable pero t v ∇ v t m = 0 hace y da una ecuación geodésica diferente ... así que Straightest ≠ Más corto nunca más.

¿Alguien puede aclararme las cosas?

Estás preguntando por una "razón profunda" por la que en el espacio plano la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta. No creo que haya una razón "más profunda" para esto que el hecho de que 2 + 2 = 4 .
Las dos definiciones rara vez son equivalentes a nivel mundial, el camino más corto siempre es una geodésica, pero una geodésica puede no ser el camino más corto. Las "razones profundas" son que la ecuación derivada de la variación de la longitud funcional es la ecuación geodésica, y un teorema de que las soluciones minimizan la longitud a menos que pasen por puntos conjugados o de corte, ver lugar geométrico de corte . Pero si la conexión no es Levi-Civita, entonces no es compatible con una métrica, por lo que no está claro cómo está definiendo la longitud funcional.
@tparker dos palabras: geometría de superficie.
Creo que en realidad es un axioma geométrico que las geodésicas sean el camino más recto y más corto. En esencia, la definición de rectitud cambia. Después de todo, recto en una esfera es mucho más curvo que en un plano.
Lo pienso de esta manera: las geodésicas son lo que nos gustaría percibir como líneas rectas en un dominio equipado con una métrica de Riemann . Sugeriría leer más sobre esto en un libro sobre Geometría diferencial, Do Carmo siempre es una buena referencia.
Tal como lo entiendo (comprensión obtenida solo al ver videos de YouTube), si tomamos una esfera y consideramos dos puntos en ella, esos puntos estarían conectados por dos geodésicas: uno sería el camino más corto y el otro el más largo.
@ChrisBecke, una geodésica sería el camino más corto, pero la otra geodésica no sería el camino más largo. En una esfera, si fija 2 puntos finales, puede producir una curva suave que los une de longitud arbitrariamente grande. Por ejemplo, siempre puedes dar vueltas en espiral tantas veces como quieras para obtener caminos cada vez más largos.
@Conifold La configuración del OP para el lado "más recto" de la equivalencia solo se aplica en el espacio plano. No sé cómo se definiría la noción de la curva "más recta" posible en el espacio-tiempo curvo, si no por el requisito de que t m ∇ m t v = 0 o por el requisito de que se extremice la longitud adecuada. Bajo cualquier definición, la pregunta del OP se vuelve trivial, por lo que asumí que su pregunta era sobre el espacio plano.
@tparker El camino más recto posible tiene mucho sentido en el espacio-tiempo curvo, ya que por la definición de una variedad podemos aproximar pequeños vecindarios con parches infinitesimales de espacio-tiempo plano . Las geodésicas se forman tomando sucesivos pasos rectos en estas a lo largo de líneas tangentes apropiadamente arrastradas por la conexión.

Respuestas (5)

Las dos formulaciones son por lo tanto equivalentes.

esto es falso

En el caso de las geodésicas espaciales, su definición de L da un número imaginario. Los números complejos no son un campo ordenado, por lo que no existe el "más corto".

Hay un problema similar para las geodésicas nulas. Una geodésica nula tiene L = 0 , y las perturbaciones de una geodésica nula pueden hacer L ya sea real o imaginario.

Incluso en el caso temporal, puede suceder que una geodésica no sea una curva de tiempo máximo. Hay una discusión de esto en Misner, Thorne y Wheeler, p. 318.

La única definición general de una geodésica que funciona es que transporta en paralelo su propio vector tangente, es decir, es el camino más recto.

¿No puede sortear este problema de números complejos requiriendo que el intervalo de espacio-tiempo ∫ d τ d s 2 ser extremizado en lugar de la longitud adecuada ∫ d τ d s 2 ?

Aunque no puedo explicarlo mejor que Penrose en The Road to Reality, como escribió Ron Gordon, que es un libro muy bueno con cifras muy bonitas, pensé en hacer algunos comentarios aquí.

Con respecto a su párrafo que comienza "Siempre pensé que tenía que ver con la torsión", tengo algunos comentarios (espero que sean útiles). Primero, cualquier conexión afín en una variedad da una noción de transporte paralelo (y observo que Ron Gordon ya refirió el OP a la página de transporte paralelo en wikipedia), por lo que puede definir las geodésicas como curvas suaves para las cuales el vector tangente es paralelo. Tenga en cuenta que no mencioné ninguna métrica y, de hecho, se puede hablar de geodésicas mientras se tiene una conexión.

Pero, ¿y si la variedad tiene una métrica de Riemann? gramo ? La conexión Levi-Civita es una conexión sin torsión. gramo -conexión compatible. Me gusta pensar que, en cierto sentido, está asociado canónicamente a gramo (ya que dada una métrica, existe y es única). En este caso, también puede definir las geodésicas como curvas suaves que son puntos críticos del funcional de longitud, con sus extremos fijos. También se pueden definir como puntos críticos de un funcional de energía, en lugar del funcional de longitud, eliminando así la raíz cuadrada involucrada en la longitud. Esto es similar a considerar la acción de Polyakov en lugar de la de Nambu-Goto en la teoría de cuerdas.

Mi comentario final es este. Si bien una geodésica en una variedad de Riemann siempre minimiza localmente la longitud, es posible que no siempre minimice globalmente la longitud, con sus 2 puntos finales fijos. Por ejemplo, considere una esfera y diga que comienza en el polo norte N y viaja a lo largo de un gran círculo hasta llegar al polo sur S, y luego continúa un poco más en el mismo gran círculo, un poco más allá de S. Esto es una geodésica, pero no es el camino más corto entre los 2 puntos finales. De hecho, uno puede comenzar y N, e ir en la dirección opuesta a la ruta inicial, y llegar al punto final en una ruta geodésica más corta.

Editar: mis comentarios asumieron una métrica riemanniana, es decir, firma euclidiana, en lugar de lorentziana. Hay otros problemas que surgen en la firma de Lorentzian como algunos usuarios (en particular, Ben Crowell) han señalado correctamente.

Sea dada una variedad pseudo-riemanniana ( METRO , gramo ) con una conexión ∇ que sea compatible con la métrica gramo pero no necesariamente libre de torsión . Dejar ∇ L C denote la conexión Levi-Civita para gramo . Entonces la ecuación geodésica ∇ γ ˙ L C γ ˙ = 0 y la ecuación autoparalela ∇ γ ˙ γ ˙ = 0 no son necesariamente los mismos. Son lo mismo si el tensor de torsión es totalmente antisimétrico. Consulte, por ejemplo , esta publicación de Phys.SE para obtener más detalles.

Enlaces a Kleinert et. trabajo de al. para más tarde: arxiv.org/abs/hep-th/9503074 ; arxiv.org/abs/gr-qc/9605028 ; arxiv.org/abs/gr-qc/9709067 ; arxiv.org/abs/gr-qc/9801003 ; arxiv.org/abs/physics/9801023 ← ec. (6.5) acción local para autoparalelos. Parece que también podríamos implementar la ecuación auto-paralela. con un multiplicador de Lagrange.

Realmente no entiendo tu pregunta, pero creo que esto es lo que estás preguntando:

"Las geodésicas se pueden definir de dos maneras diferentes: (a) trayectorias que transportan en paralelo su vector tangente, o (b) trayectorias que maximizan el tiempo adecuado a lo largo de todos los caminos posibles entre dos puntos. [Tenga en cuenta que la primera definición es local y la segunda es global Como señala Ben Crowell, la firma indefinida de la métrica conduce a sutilezas con la segunda definición, por lo que para simplificar es más fácil considerar solo trayectorias temporales, lo que por supuesto significa que esta definición solo tiene sentido si los puntos finales están causalmente conectados. Los casos de caminos nulos o spacelike terminan siendo muy similares.] La primera definición solo hace referencia a la conexión (no a la métrica) y la segunda definición solo hace referencia a la métrica (no a la conexión).¿Para qué relaciones entre la métrica y la conexión son equivalentes estas definiciones?"

Carroll analiza ambas definiciones en las págs. 106-108 de este libro de texto GR: "estos dos conceptos coinciden si y solo si la conexión es la conexión de Christoffel ... En una variedad con una métrica, los extremos de la longitud funcional son curvas que transportan paralelamente sus vectores tangentes con respecto a la Conexión de Christoffel asociada con esa métrica [énfasis agregado]. No importa si se define alguna otra conexión en el mismo múltiple".

Como dices, si la conexión tiene torsión (o no es compatible con la métrica), entonces los dos conceptos ya no son equivalentes. En alternativas a GR que consideran conexiones con torsión, las trayectorias de partículas libres obedecen a la primera ecuación en lugar de a la segunda, por lo que la primera definición es más fundamental en el contexto de la física gravitacional.

Tal vez un poco sin relación: ¿las "opciones" de conexión que difieren de la conexión de Christoffel encajan bien con el principio de equivalencia? Tiendo a pensar que no hay elección en la conexión si uno tiene que seguir el principio de equivalencia. Este punto de vista, en mi opinión, está algo respaldado por el tratamiento de Weinberg. Él no asume nada sobre la torsión a priori y (usando el principio de Equivalencia) prueba que la conexión resulta ser la conexión de Christoffel.

Referencias: Penrose pg 294, Ch 14 de The Road to Reality proporciona una explicación muy accesible del transporte paralelo usando geodésicas para encontrar caminos "cortos" y describe cómo resolver el problema de la dependencia del camino. Evita el desarrollo riguroso para centrarse en la justificación.

https://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_transport El desarrollo matemático para el transporte paralelo en la geometría de Riemann, así como otros tratamientos para resolver el problema de la dependencia del camino paralelo.

↑ ¿Reimmann?
Geodésicas: ¿las más rectas o las más cortas? ¿Cuándo y por qué?
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