Encontrar coeficientes de conexión de Christoffel de 3 esferas usando cálculo variacional, problema de Sean Carrol

Question

Encontrar coeficientes de conexión de Christoffel de 3 esferas usando cálculo variacional, problema de Sean Carrol

kevin murray

Tengo A 3-Esfera con coordenadas $x^{\mu} = (\psi,\theta,\phi)$ y la siguiente métrica:

d s^{2} = d ψ^{2} + {pecado}^{2} ψ (d θ^{2} + {pecado}^{2} θ d ϕ^{2})

$\begin{equation} ds^2 = d\psi^2 + \text{sin}^2\psi(d\theta^2 + \text{sin}^2\theta d\phi^2) \end{equation}$

Sé cómo obtener los coeficientes de conexión usando las derivadas métricas, etc., pero estoy buscando una manera de hacerlo a través del cálculo de variaciones. Un problema en Sean Carroll (Ejercicios 3.11 pregunta 8 a) Introducción a la Relatividad General sugirió variar la siguiente integral para encontrar los coeficientes de conexión:

yo = \frac{1}{2} \int {gramo}_{m v} \frac{d X^{m}}{d τ} \frac{d X^{v}}{d τ} d τ

$\begin{equation} I = \frac{1}{2}\int g_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{v}}{d\tau} d\tau \end{equation}$

Así que tengo un lagrangiano:

L = {\dot{ψ}}^{2} + ({pecado}^{2} ψ) {\dot{θ}}^{2} + ({pecado}^{2} ψ) ({pecado}^{2} θ) {\dot{ϕ}}^{2}

$\begin{equation} \mathcal{L} = \dot{\psi}^2 + (\text{sin}^2\psi) \dot{\theta}^2 + (\text{sin}^2\psi)(\text{sin}^2\theta)\dot{\phi}^2 \end{equation}$

Que pongo en la ecuación de Euler-Lagrange:

\frac{\partial}{\partial τ} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{X}}^{m}}) - \frac{\partial L}{\partial X^{m}} = 0

$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial \tau}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}^\mu}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^\mu} = 0 \end{equation}$

¿Estoy en el camino correcto aquí? ¿Cuál es la estrategia para relacionar esto con los símbolos de conexión? La literatura no es demasiado clara y estoy luchando para hacer la conexión.

Respuestas (2)

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jerry schirmer · Answer 1

Te mostraré cómo hacer esto para el plano 2 en coordenadas polares. Una vez que resuelva esto, debería ser factible resolverlo en su caso.

Empiezas con la métrica

d s^{2} = d r^{2} + r^{2} d θ^{2}

$ds^{2} = dr^{2} + r^{2}d\theta^{2}$

Dado que las geodésicas de esta métrica (es decir, líneas rectas) minimizan la distancia, sabemos que las geodésicas son un extremo de:

yo = \frac{1}{2} \int d s ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2})

$I = \frac{1}{2}\int ds \left({\dot r}^{2} + r^{2}{\dot \theta}^{2}\right)$

Tomamos la variación de esto, y obtenemos

d yo = \int d s (\dot{r} d \dot{r} + r {\dot{θ}}^{2} d r + r^{2} \dot{θ} d \dot{θ})

$\delta I = \int ds \left({\dot r}\delta {\dot r} + r{\dot \theta}^{2} \delta r + r^{2}{\dot \theta} \delta{\dot \theta}\right)$

Según nuestro procedimiento habitual, queremos variar con respecto a las variables originales y no a su derivada temporal. También despreciamos la variación en la frontera y suponemos que $\delta {\dot x} = \frac{d}{ds}\delta x$ . Entonces, integramos por partes y obtenemos:

d yo = \int d s ((- \ddot{r} + r {\dot{θ}}^{2}) d r + (- \ddot{θ} r^{2} - 2 r \dot{r} \dot{θ}) d θ)

$\delta I = \int ds\left(\left(-{\ddot r} + r{\dot \theta}^{2}\right)\delta r + \left(-{\ddot\theta}r^{2} - 2r{\dot r}{\dot\theta}\right)\delta \theta\right)$

Como la geodésica debe ser cero independientemente de las variaciones $\delta r$ y $\delta \theta$ , sabemos que los términos dentro de los paréntesis deben ser independientemente cero, y obtenemos:

\begin{aligned} 0 & = \ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2} \\ 0 & = \ddot{θ} + \frac{1}{r} (\dot{r} \dot{θ} + \dot{θ} \dot{r}) \end{aligned}

$\begin{align} 0 &= {\ddot r} - r{\dot \theta}^{2}\\ 0 &= {\ddot \theta} + \frac{1}{r}\left({\dot r}{\dot \theta} + {\dot \theta}{\dot r}\right) \end{align}$

Ahora, tenemos esto como un sistema de ecuaciones, y recordamos que la ecuación geodésica, en términos de símbolos de Christoffel, es $0={\ddot x}^{a} + \Gamma_{bc}{}^{a}{\dot x}^{b}{\dot x}^{c}$ , y concluimos que $\Gamma_{\theta \theta}{}^{r} = -r$ , $\Gamma_{r\theta}{}^{\theta} = \Gamma_{\theta r}{}^{\theta} = \frac{1}{r}$ , y que todos los demás son cero.

Muchas gracias, eso ayudó mucho. Me confundí con la variable de integración (lo confundí con el tiempo y luego me confundí porque no tenía el tiempo como coordenada) y no me di cuenta de que podía asociarlo con el parámetro afín en la ecuación geodésica.
@KevinMurray: ¡no hay problema! Además, como bonificación que pretendía incluir arriba y olvidé, tenga en cuenta que toda la variación con respecto a $\theta$ se debe a la variación con respecto a $\dot \theta$ . Por lo tanto, cuando integra con partes, debe quedar claro que $\frac{d}{ds}\left(r^{2}{\dot \theta}\right) = 0$ , Lo que significa que $r^{2}{\dot \theta} = C$ por algún valor constante $C$ en su geodésica. Esto está relacionado con el hecho de que $\partial_{\theta}$ es un vector asesino del plano 2. Ese truco puede hacer que la tarea de resolver las geodésicas sea mucho más rápida.

kyle kanos · Answer 2

La estrategia es recordar la ecuación geodésica ,

\begin{matrix} (1) & \frac{d^{2} X^{λ}}{d t^{2}} + Γ_{m v}^{λ} \frac{d X^{m}}{d t} \frac{d X^{v}}{d t} = 0 \end{matrix}

$\frac{d^2x^\lambda}{dt^2}+\Gamma^\lambda_{\,\mu\nu}\frac{dx^\mu}{dt}\frac{dx^\nu}{dt}=0\tag{1}$

De tu Lagrangiano, terminarás con ecuaciones de la forma

\begin{aligned} \ddot{ψ} & = F (ψ, θ, ϕ, \dot{ψ}, \dot{θ} \dot{ϕ}) \\ \ddot{θ} & = gramo (ψ, θ, ϕ, \dot{ψ}, \dot{θ} \dot{ϕ}) \\ \ddot{ϕ} & = h (ψ, θ, ϕ, \dot{ψ}, \dot{θ} \dot{ϕ}) \end{aligned}

$\begin{align} \ddot{\psi}&=f(\psi,\,\theta,\,\phi,\,\dot{\psi},\,\dot{\theta}\,\dot{\phi})\\ \ddot{\theta}&=g(\psi,\,\theta,\,\phi,\,\dot{\psi},\,\dot{\theta}\,\dot{\phi})\\ \ddot{\phi}&=h(\psi,\,\theta,\,\phi,\,\dot{\psi},\,\dot{\theta}\,\dot{\phi})\\ \end{align}$ con el que se relaciona (1) índice por índice.

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