¿Por qué dos Lagrangianos diferentes para derivar ecuaciones geodésicas?

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¿Por qué dos Lagrangianos diferentes para derivar ecuaciones geodésicas?

Pedro4075

Estoy tratando (etapas muy tempranas) de entender la derivación de la ecuación geodésica

\frac{d^{2} X^{α}}{d λ^{2}} + Γ_{γ β}^{α} \frac{d X^{β}}{d λ} \frac{d X^{γ}}{d λ} = 0

$\frac{d^{2}x^{\alpha}}{d\lambda^{2}}+\Gamma_{\gamma\beta}^{\alpha}\frac{dx^{\beta}}{d\lambda}\frac{dx^{\gamma}}{d\lambda}=0$ a través de Lagrangianos y las ecuaciones de Euler-Lagrange. No entiendo por qué algunos autores usan el Lagrangiano

L ({\dot{X}}^{C}, X^{C}) \equiv \frac{1}{2} {gramo}_{a b} (X^{C}) {\dot{X}}^{a} {\dot{X}}^{b}

$L\left(\dot{x}^{c},x^{c}\right)\equiv\frac{1}{2}g_{ab}\left(x^{c}\right)\dot{x}^{a}\dot{x}^{b}$ (como en A Short Course in General Relativity de Foster y Nightingale , p60) y otros usan el Lagrangiano

L ({\dot{X}}^{α}, X^{α}) \equiv \sqrt{- {gramo}_{m v} (X^{α}) {\dot{X}}^{m} {\dot{X}}^{v}}

$L\left(\dot{x}^{\alpha},x^{\alpha}\right)\equiv\sqrt{-g_{\mu\nu}\left(x^{\alpha}\right)\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}$ (como en A General Relativity Workbook de Moore , p90). Me doy cuenta de que debo estar confundido aquí, pero no puedo por qué, ya que ambos parecen terminar con la misma ecuación geodésica.

zzz

No es inusual que diferentes Lagrangianos produzcan la misma ecuación de movimiento. Posible duplicado de physics.stackexchange.com/q/149082

Calmarius

¿Realmente quieres derivar una ecuación geodésica con Lagrangianos? Creo que es más simple si derivas y practicas conceptos geométricos diferenciales en esfera simple. Primero debes entender la derivada covariante; cuando es cero, definió el transporte paralelo; cuando transporta en paralelo un vector hacia la dirección en puntos a, seguirá una geodésica y eso produce la ecuación geodésica, de manera bastante intuitiva. Básicamente, la ecuación dice cómo necesita cambiar las coordenadas de su vector de velocidad para permanecer en un camino recto.

qmecanico

Técnicamente hablando, el lagrangiano de raíz cuadrada y el lagrangiano sin raíz cuadrada conducen a ecuaciones EL ligeramente diferentes. Como es bien sabido, las soluciones son para ambas ecs. geodésicas (parametrizadas), pero donde la primera eq. produce todas las geodésicas parametrizadas, la última eq. solo produce geodésicas parametrizadas afines , cf. por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí .

Pedro4075

@Qmecánico - gracias. ¿Cómo es que la derivación de Valter Moretti aquí (que está sobre mi cabeza) comienza con la raíz cuadrada Lagrangiana y termina con (lo que supongo que es) las ecuaciones geodésicas parametrizadas afines, es decir, mi primera ecuación?

qmecanico

Su derivación (v6) asume esto en algún momento.

Respuestas (1)

¿Por qué dos Lagrangianos diferentes para derivar ecuaciones geodésicas?

No es inusual que diferentes Lagrangianos produzcan la misma ecuación de movimiento. Posible duplicado de physics.stackexchange.com/q/149082
¿Realmente quieres derivar una ecuación geodésica con Lagrangianos? Creo que es más simple si derivas y practicas conceptos geométricos diferenciales en esfera simple. Primero debes entender la derivada covariante; cuando es cero, definió el transporte paralelo; cuando transporta en paralelo un vector hacia la dirección en puntos a, seguirá una geodésica y eso produce la ecuación geodésica, de manera bastante intuitiva. Básicamente, la ecuación dice cómo necesita cambiar las coordenadas de su vector de velocidad para permanecer en un camino recto.
Técnicamente hablando, el lagrangiano de raíz cuadrada y el lagrangiano sin raíz cuadrada conducen a ecuaciones EL ligeramente diferentes. Como es bien sabido, las soluciones son para ambas ecs. geodésicas (parametrizadas), pero donde la primera eq. produce todas las geodésicas parametrizadas, la última eq. solo produce geodésicas parametrizadas afines , cf. por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí .
@Qmecánico - gracias. ¿Cómo es que la derivación de Valter Moretti aquí (que está sobre mi cabeza) comienza con la raíz cuadrada Lagrangiana y termina con (lo que supongo que es) las ecuaciones geodésicas parametrizadas afines, es decir, mi primera ecuación?

hijo de saturno · Answer 1

En realidad, las ecuaciones de movimiento con las que uno termina no son manifiestamente las mismas:

si dejo

L_{1} = \sqrt{{gramo}_{m v} \frac{d X^{m}}{d t} \frac{d X^{v}}{d t}}

$L_1 = \sqrt{g_{\mu \nu} \frac{dx^{\mu}}{dt} \frac{dx^{\nu}}{dt}}$ uno encuentra que la ecuación de Euler-Lagrange es

\frac{d^{2} X^{m}}{d t^{2}} + Γ_{v σ}^{m} \frac{d X^{v}}{d t} \frac{d X^{σ}}{d t} = F (t) \frac{d X^{m}}{d t},

$\frac{d^2 x^{\mu}}{dt^2} + \Gamma^{\mu}_{\nu\sigma} \frac{dx^{\nu}}{dt} \frac{dx^{\sigma}}{dt} = f(t) \frac{dx^{\mu}}{dt},$ para una función adecuada

f (t)

$f(t)$ (usted debe tratar de derivar esto), mientras que para

L_{2} = (L_{1})^{2}

$L_2 = (L_1)^2$ , la ecuación es lo que escribiste arriba. Entonces, ¿cómo se relacionan estos dos y por qué conducen a la misma solución? La respuesta tiene que ver con el parámetro utilizado para describir la curva.

En el caso de $L_1$ , el parámetro es arbitrario. Se puede ver que la acción $S_1 = \int dt L_1$ es reparametrización invariante, es decir, si tomamos $t \rightarrow \lambda(t)$ , $S_1$ no cambia Esto implica que somos libres de elegir cualquier parámetro que queramos sin afectar la física.

Se puede demostrar que hay un particular $\lambda(t)$ por lo cual la MOE de $L_1$ reducir a la MOE de $L_2$ (dicho parámetro se denomina parámetro afín). Es un ejercicio muy interesante, y los dejo para que trabajen en los detalles.

Gracias. Intentaré derivar las ecuaciones geodésicas no afines que das. Mientras tanto, ¿tiene un enlace a esta derivación? Todavía estoy desconcertado en cuanto a cómo Moore comienza con la raíz cuadrada de Lagrangian y termina con las ecuaciones geodésicas afines.
No estoy familiarizado con la fuente que está utilizando, pero la forma más clara (OMI) de obtener las ecuaciones geodésicas afines de la raíz cuadrada de Lagrangian es obtener primero las ecuaciones no afines y luego cambiar su parámetro arbitrario a un afín. En cuanto a tener una fuente para la derivación, no conozco ninguna que derive directamente la ecuación no afín (aunque no es difícil). Carroll en sus notas comienza con el Lagrangiano de raíz cuadrada y luego cambia a un parámetro afín en medio de su derivación. Mire la página 15 en: preposterousuniverse.com/grnotes/grnotes-three.pdf
Gracias, pero no puedo ver cómo se pone $d\tau$ como el denominador después de hacer la sustitución del parámetro afín (Ecuación 3.52).
Uno simplemente aplica la regla de la cadena para eso, si entiendo correctamente su confusión.
¿Alguna posibilidad de una pista sobre cómo se ve esa regla de la cadena? No veo cómo sustituye (3.52) en (3.51) para obtener la ecuación al final de la página 69. Gracias por su paciencia.
Perdón por la respuesta tardía, pero solo quiero decir que se deriva de aplicar $\frac{dx^{\mu}}{d\lambda} = \frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{d\tau}{d\lambda}$ . Si se requiere más aclaración, hágala como una pregunta separada y estaré encantado de entrar en más detalles allí.
No pude resolverlo, así que hice una pregunta por separado, aquí physics.stackexchange.com/questions/183970/… . Horus respondió muy bien. El centavo ahora ha caído. Gracias.

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