¿Por qué todas las soluciones de este sistema de ecuaciones diferenciales de péndulo son una combinación lineal de las dos soluciones dadas?

Recuerde del álgebra lineal que dado un operador$A$actuando sobre vectores$\vec{v}$de$\mathbb{R}^n$, la ecuacion

$$A\vec{v}=0$$ define el núcleo o espacio nulo del operador$A$. Este es el subespacio de todos los vectores que son asignados a 0 por dicho operador y su dimensión corresponde a$n-\textrm{Rank}(A)$. Este es el caso de los espacios de dimensión finita, pero se generaliza a los espacios vectoriales de funciones y se aplican casi las mismas cosas.

Así que aquí tienes un operador diferencial

$$A = \begin{pmatrix} \frac{d}{dt^2} + \omega_0^2 + k^2 & k \\ k & \frac{d}{dt^2} + \omega_0^2 + k^2 \end{pmatrix}$$ que está actuando sobre algún espacio espacio de funciones$V$(No entraré en detalle en qué espacio es este pero, suponga funciones "agradables"). Como puede ver, el operador en realidad está actuando sobre el producto directo de dos de esos espacios,$V^2=V\times V$, es decir, actúa sobre dos copias de algún espacio de funciones, por lo que los vectores se ven como$\vec{v} = (f_1(t),f_2(t))$y estamos resolviendo para $$\begin{equation}A\vec{v}=0 \tag{1} \label{eq:nullspace} \end{equation}$$ como antes. Ahora, bajo la misma filosofía del caso habitual del álgebra lineal, lo más que puede pasar es que el operador envíe todo a cero, en cuyo caso el espacio nulo tendrá dimensión$2n$dónde$n$sería ahora la dimensión de$V$y podría ser infinito. Sin embargo, de la teoría de las ecuaciones diferenciales sabemos que las ODE de segundo orden deberán suministrarse con dos condiciones de contorno, y esto es exactamente lo que está relacionado con la libertad de "direcciones" que tiene en este espacio nulo. Entonces, si piensa en las soluciones como direcciones en un espacio vectorial, esto le dice que hay como máximo dos direcciones en las que puede "moverse" o cambiar las condiciones sin dejar de satisfacer$\eqref{eq:nullspace}$. Esto le pasaría a cada copia por separado si no hubiera términos fuera de la diagonal, pero como aquí no son cero, lo que hacen es acoplar las ecuaciones y así forzar una relación particular entre los componentes, dada por los autovalores. Al fin y al cabo, lo importante es darse cuenta de que todo se reduce a la dimensión de un espacio nulo de un operador en un espacio de funciones y esto está limitado por el orden de las ODE involucradas y el tamaño del sistema.