¿Cuándo se aplica el principio de superposición?

Supuse por mis cursos de física general que el principio de superposición era solo un hecho empírico sobre las fuerzas. Entonces pude entender que cantidades derivadas como la mi y B los campos también lo obedecerían porque, por ejemplo:

F 1 + F 2 = q mi 1 + q mi 2 = q ( mi 1 + mi 2 ) = F t o t a yo ⟹ mi 1 + mi 2 = mi t o t a yo
Pero ayer vi que la página de Wikipedia sobre potencial gravitacional decía que "el potencial asociado con una distribución de masa es la superposición de los potenciales de masas puntuales". Entonces, aparentemente, la energía potencial gravitacional también obedece al principio de superposición.

Esto me lleva a preguntarme cuáles son todas las cantidades que obedecen a la superposición. ¿Todos los tipos de energía le obedecen, por ejemplo? Mejor aún, ¿hay alguna forma de determinar si una cantidad dada (número/vector/etc.) obedecerá teóricamente el principio de superposición o necesitamos una ley empírica para cada una?

Mirar la página de Wikipedia sobre el principio de superposición no ayudó, ya que afirmaba que todos los sistemas lineales lo obedecían. Pero, ¿cómo sabemos si un sistema es lineal? Sé cómo determinar si una función es lineal, pero tomemos como ejemplo la energía potencial gravitacional:

tu gramo = − GRAMO METRO metro r
Esta ley tiene 3 variables independientes. es lineal en METRO y metro pero no en r . Entonces, ¿cómo determinaría cuál de esas variables debe ser lineal para que la energía potencial gravitatoria obedezca el principio de superposición?

Esto es más simple de lo que parece: el campo gravitatorio de diferentes masas se superpone si la ecuación es lineal en masa. Eso es todo al respecto.
Un sistema lineal obedece al principio de superposición por definición. La energía es aditiva y los potenciales gravitatorios obedecen al principio de superposición, por lo que son, en cierto sentido, lineales. Sin embargo, la dinámica resultante de masas en campos gravitatorios no tiene esa propiedad. La suma de dos soluciones orbitales no es una solución orbital, por lo que el sistema físico real no es lineal y no se aplica el principio de superposición.
@knzhou ¿Por qué no importa el hecho de que esas masas puedan estar a diferentes distancias?
@BobDylan Está contabilizado. En general, si se considera F ( X , y ) = X gramo ( y ) , entonces F ( X 1 + X 2 , y ) = ( X 1 + X 2 ) gramo ( y ) = X 1 gramo ( y ) + X 2 gramo ( y ) = F ( X 1 , y ) + F ( X 2 , y ) . Aquí, X es la masa y gramo ( y ) representa todas las demás dependencias.
Se hizo una pregunta similar hace solo un par de semanas.
Respuesta corta: la definición de un sistema lineal es aquella en la que funciona la superposición.

Respuestas (2)

Lo entendiste todo al revés.

Las fuerzas se suman como vectores. Esa es la suma que sucede por la linealidad. Si sus fuerzas son la suma de las fuerzas por pares debidas a dos cuerpos a la vez, y cada uno de ellos tiene un potencial por pares o un campo por pares, entonces debido a que las fuerzas se suman, podemos concluir que el potencial multipartícula efectivo o el campo multipartícula efectivo es la suma de los potenciales o campos individuales.

Así que no uses la linealidad para demostrar que las fuerzas se suman. Use el hecho de que las fuerzas se suman para encontrar los campos y potenciales de multipartículas.

Entonces, para su ejemplo de gravedad newtoniana, la energía potencial es un campo escalar en el espacio de configuración:

tu ( r → 1 , r → 2 , r → 3 ) = − GRAMO METRO 1 METRO 2 | r → 1 − r → 2 | − GRAMO METRO 1 METRO 3 | r → 1 − r → 3 | − GRAMO METRO 3 METRO 2 | r → 3 − r → 2 | .

El principio de superposición no es obvio en ningún sentido. Sin embargo, es un hecho verificado experimentalmente con cierta precisión. Si observa la ley de Newton o la ley de Coulomb, no dice nada sobre el hecho de que la fuerza neta es la suma de las fuerzas individuales como si todas las demás partículas estuvieran ausentes. No hay razón para que la fuerza neta no esté relacionada de forma no lineal.

Es uno de esos principios fundamentales que se da por sentado, similar al principio de Equivalencia o al principio de Hamilton.

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