Problemas de física clásica relacionados con la EDO dx/dt+tx=0dx/dt+tx=0dx/dt + tx = 0

Imparto un curso de oscilaciones, ondas y análisis de Fourier. La mejor manera que conozco para mostrar la invariancia de Fourier de la Gaussiana Exp ⁡ ( − t 2 / 2 ) (que tiene una importancia matemática fundamental 1 , 2 y es útil para ilustrar los paquetes de ondas) es observar que es la solución única de la ecuación (¡no autónoma!)

d X d t + t X = 0 ,
que es en sí misma invariante de Fourier.

Prefiero tener una motivación independiente de la física para introducir esta ecuación que sacarla del sombrero como un truco formal. Es, por supuesto, la ecuación para el estado fundamental del oscilador armónico cuántico (con X la función de onda y t la coordenada espacial), pero eso viene mucho más tarde en el curso. Entonces, ¿puede pensar en una situación razonable en la física clásica (preferiblemente mecánica) que lo involucre?

Estaría de acuerdo en que esto sería demasiado vago si pudiera pensar en al menos uno , pero no puedo.

Respuestas (1)

En una ecuación de difusión por convección , las partículas intentan difundirse hacia afuera (moléculas de perfume en el aire) mientras se mueven a lo largo de un campo de velocidad dado (aire en movimiento). La ecuación dada en wikipedia es, con C siendo la concentración:

∂ t C = ∂ X ( D ∂ X C ) − ∂ X ( v C ) + R
llevar R = 0 , ∂ t C = 0 , Llegar
0 = ∂ X ( D ∂ X C − v C )

Ignorando la constante de integración (soluciones de D ∂ X C − v C = a no vayas a cero en el infinito), nos quedamos con tu ecuación. Llevar D = 1 y v = − X .

∂ X C + X C = 0

Esta es la ecuación de estado estacionario para las moléculas de perfume que se difunden hacia el exterior mientras una extraña brisa las empuja hacia el origen.

¡Creo que va a ser difícil encontrar algo que no se base en algún tipo de deriva, difusión o ecuación termodinámica!

Tiene que ser algún tipo de PDE disfrazado para ser no autónomo, ¿no?... :-/ Sin embargo, desconfío un poco de esta "brisa extraña" porque no veo si en sí misma satisface la masa. o conservación del impulso (para el “aire”).
@AlexShpilkin No satisfaría la conservación masiva (tendría que haber sumideros de aire en todas partes). Probablemente también podría interpretarse como partículas cargadas en un potencial sujeto a una fuerza aleatoria, pero tendría que pasar por una derivación.
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