¿Por qué es cierto el Principio de Superposición en EM? ¿Se mantiene más generalmente?

El principio de superposición proviene del hecho de que las ecuaciones que resuelves la mayoría de las veces están compuestas por operadores lineales (al igual que la derivada). Entonces, siempre que esté usando estos operadores, puede escribir algo como

$$\mathcal L\cdot \psi = 0$$

donde$\mathcal L$es un operador lineal y, digamos,$\psi$es una función que depende de coordenadas que$\mathcal L$está actuando sobre. El principio de superposición es lo mismo que decir esto

$$\mathcal L \cdot \left(\sum_i \psi_i \right) = \mathcal L\cdot\psi_1 + \mathcal L\cdot\psi_2 + ... = 0$$

sostiene Un ejemplo cuando no sería, por ejemplo...

$$\mathcal L^2 \cdot\left(\sum_i \psi_i\right) \neq \mathcal L^2\cdot\psi_1 + \mathcal L^2\cdot\psi_2 + ...$$

en general (para el laplaciano en el espacio euclidiano es igual a). Entonces, la pregunta es si las ecuaciones de Maxwell son lineales. Y lo son porque se componen de este tipo de operadores. Por ejemplo, la ley de Gauss para dos campos eléctricos diferentes se puede escribir como uno

$$\nabla \cdot \vec{E}_1 = \rho_1/\varepsilon \quad; \quad \nabla \cdot \vec{E}_2 = \rho_2/\varepsilon$$

$$\nabla \cdot \overbrace{\left(\vec{E}_1 + \vec{E}_2\right)}^{\vec{E}} = \frac{\overbrace{\rho_1 + \rho_2}^{\rho_T}}{\varepsilon} \Rightarrow \boxed{\nabla \cdot\vec E = \frac{\rho_T}{\varepsilon}}$$

simplemente porque$\nabla$es un operador lineal.

Dentro del ámbito de las ecuaciones de Maxwell, el principio de superposición es exactamente cierto porque las ecuaciones de Maxwell son lineales tanto en las fuentes como en los campos. Entonces, si tiene dos soluciones para las ecuaciones de Maxwell para dos conjuntos diferentes de fuentes, entonces la suma de esas dos soluciones será una solución para el caso en el que suma los dos conjuntos de fuentes.

Esto solo se romperá cuando las ecuaciones de Maxwell se rompan, por ejemplo, cuando las intensidades de campo sean tan altas que la producción de pares se vuelva significativa. En ese caso sería necesaria la teoría cuántica de campos de la electrodinámica cuántica (QED). Ahora, las teorías cuánticas también son lineales, al menos en lo que respecta a la función de onda cuántica, sin embargo, las probabilidades que predicen las teorías cuánticas dependen de la magnitud de la función de onda, por lo que en ese sentido son no lineales y, por lo tanto, no se aplicará la superposición. a los resultados

Es cierto hasta fuerzas de campo muy altas. Para intensidades demasiado altas, el campo en sí no es estable, puede crear pares reales. Es como un límite en la intensidad de un campo en un condensador. El dieléctrico del capacitor puede romperse.

EDITAR: Las ecuaciones clásicas de Maxwell son realmente lineales, por lo que se implementa el principio de superposición en ellas. Pero la ruptura de un dieléctrico también se puede introducir como una resistencia dependiendo de la intensidad del campo. Por lo tanto, se puede hacer que la ecuación de Maxwell no sea lineal a partir de un umbral de fuerza.

De hecho, la ruptura dieléctrica o descarga del capacitor debido a la emisión de electrones fríos (no linealidad clásica) ocurre "mucho antes" de crear un par electrón-positrón en el vacío.

Si bien la primera parte de la pregunta ha sido respondida satisfactoriamente, todo el mundo parece confundir la linealidad incondicional de las ecuaciones de Maxwell con la linealidad frecuentemente observada de las relaciones constitutivas de la ley material. El campo de la óptica no lineal se ocupa del comportamiento de la luz en medios no lineales donde las relaciones constitutivas ya no son lineales.

Sin embargo, el principio de superposición ya se viola si el campo acelera incluso un solo electrón. Entonces, los medios no lineales no son nada exóticos, incluso si la mayoría de los medios están bien descritos por relaciones constitutivas lineales para intensidades de campo pequeñas.

El principio de superposición es un creador de problemas. El problema también viene de la definición del campo. Al principio, el campo eléctrico se define con una carga de prueba. Si existe el cargo de prueba, si hay dos campos, podemos sumarlos. Dijimos que este es el principio de superposición. Hasta este punto todo está bien.

Pero el problema es que luego ampliamos el concepto. Afirmamos que incluso el cargo de prueba no está aquí, el campo aún existe y lo mismo que si existiera el cargo de prueba. ¿Quién sabe si la carga de prueba se elimina, el campo eléctrico está allí o no? Hay dos tipos de teorías que debatieron durante 100 años para este problema. Uno es Faraday y Maxwell, afirman que el campo todavía está allí, incluso si se elimina la carga de prueba, el campo es sustancia real. Otro lado es la teoría de la acción a distancia, que son la teoría electromagnética de Weber, el principio de acción de Schwarzschild-Tetrode-Fokker, la teoría del absorbente de Wheeler y Feynman, estas teorías afirman que el campo no es real, solo existe la acción entre al menos dos cargas!

El último no tiene el problema de la ecuación de Maxwell y la superposición. Pero la teoría de la acción a distancia es para complicar comparar la teoría de campo de la ecuación de Maxwell. La acción a distancia no puede ganar la guerra con la teoría de Maxwell. Sin embargo, son correctos al menos para la superposición, solo si hay una carga de prueba, puede superponer los dos campos. Sin carga de prueba, el campo no está definido ¿Cómo se pueden superponer dos campos?

Feynman nota este problema, pero no ha encontrado una forma de corregir la teoría de Maxwell. En cambio, decidió abandonar la teoría de Maxwell. Creó QED. En QED, el problema se resuelve parcialmente mediante normalización, segunda segunda cuantificación. Pero el problema todavía no está completamente resuelto por él.

Esta dificultad ahora es superada por el "principio de energía mutua" y el "principio de energía propia". El flujo de energía mutuo es producido por la onda retardada y la onda avanzada. el principio de energía mutua nos dice que la energía del fotón se transfiere solo por el flujo de energía mutua. El principio de autoenergía nos dice que el flujo de autoenergía no transfiere ninguna energía.

Interesante es que la nueva teoría pertenece a la teoría de campo de Maxwell. El principio de energía mutua y el principio de energía propia afirman que el campo sigue siendo una sustancia real. La nueva teoría ha absorbido todas las ventajas de la acción a distancia y la teoría del absorbente y luego actualizó la teoría del campo de Maxwell.

De todos modos, en la nueva teoría del principio de energía mutua y el principio de energía propia se evita el principio de suposición. La ecuación de Maxwell necesita el principio de superposición, sin superposición incluso la ecuación de Maxwell es correcta para una sola carga, aún no puede probar que es correcta para N cargas. El principio de energía mutua no necesita el principio de superposición. Cualquier partícula, por ejemplo, fotón y electrón, consta de 4 ondas y 6 flujos de energía en lugar de una onda, un flujo de energía.

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