¿Por qué la respuesta del sistema tiene la misma frecuencia que la frecuencia de la fuerza impulsora?

Determinar matemáticamente si el sistema físico es lineal; es decir, puede describirse mediante una ecuación diferencial ordinaria (EDO) o mediante un sistema de EDO. La mayoría de los sistemas mecánicos y electrónicos simples se pueden modelar de esta manera.

Ahora tome cualquier ODE simple, de segundo orden por ejemplo, y modele la ODE homogénea con Matlab, por ejemplo. A continuación, agregue una función de conducción al lado derecho, convirtiéndolo en una EDO no homogénea; una función de coseno funcionaría si sus expresiones son reales, de lo contrario, una exponencial compleja.

Cuando se modele este sistema, verá la frecuencia de conducción en funcionamiento y las respuestas correspondientes. Este ejemplo muestra cómo los sistemas lineales responden a una frecuencia impulsora. Esta es la razón por la cual el álgebra lineal y las EDO a menudo se estudian juntas.

Si conduce con múltiples frecuencias, verá aparecer fenómenos adicionales. Si el material tiene una respuesta no lineal, la situación se vuelve más rica y complicada.

Técnicamente, en ausencia de disipación, las oscilaciones no tienen por qué limitarse a las de la frecuencia de excitación, pero las oscilaciones de la frecuencia de excitación siempre están presentes bajo la excitación y, por lo tanto, son el centro de la discusión. Sin embargo, si hay disipación, entonces las oscilaciones que no son mantenidas por la entrada impulsora pierden energía y se extinguen con el tiempo, mientras que las impulsadas son soportadas por la entrada de energía constante de la fuerza impulsora.

Digamos que su sistema está descrito por un conjunto de coordenadas resumidas en un vector${\bf u}(t)$, la fuerza impulsora correspondiente es algo${\bf f} e^{i\omega t}$(esto puede tener solo un componente distinto de cero como sugiere) y la dinámica no es disipativa y de la forma

$$A{\bf u}(t) = {\bf f} e^{i\omega t}$$ dónde $A = A\left(\frac{d}{dt}\right)$es un operador diferencial lineal, generalmente de segundo orden. Entonces la solución general para ${\bf u}(t)$lee $${\bf u}(t) = {\bf u}_0(t) + {\bf u}_1(t)$$ dónde ${\bf u}_0(t)$hay alguna solución a falta de conducción, $$A{\bf u}_0(t) = 0$$ y ${\bf u}_1(t)$es alguna solución particular bajo conducción, $$A{\bf u}_1(t) = {\bf f} e^{i\omega t}$$ El primero es de tipo oscilatorio, mientras que el segundo se encuentra bajo el ansatz ${\bf u}_1(t) = {\bf u}^0_1e^{i\omega t}$y contribuirá con oscilaciones impulsadas. Entonces, en este caso, la solución general es una superposición de oscilaciones no perturbadas y conducidas.

Ahora supongamos que agregamos la contribución disipativa más simple en forma de una fuerza de fricción idéntica en todos los componentes, de modo que la dinámica se vuelve

$$A{\bar{\bf u}} + \lambda {\bar{\bf u}} \equiv (A + \lambda){\bar{\bf u}} = {\bf f} e^{i\omega t}$$ La solución general nuevamente acomoda una contribución ${\bar{\bf u}}_0(t)$de la dinámica imperturbable en ausencia de conducción, pero en este caso ${\bar{\bf u}}_0(t)$debe satisfacer $$(A + \lambda){\bar{\bf u}}_0(t) = 0$$ y es en general una solución amortiguada de la forma $${\bar{\bf u}}_0(t) = {\tilde{\bf u}}_0(t)e^{-\kappa(\lambda) t}$$ La solución impulsada, por otro lado, sigue siendo oscilatoria como antes, ${\bar{\bf u}}_1(t) = {\tilde{\bf u}}^0_1e^{i\omega t}$a pesar del término disipativo (simplemente conecte ${\bar{\bf u}}_1(t)$y ver cómo se modifica la ecuación resultante). Por lo tanto, en general nos quedamos con $${\bar{\bf u}} = {\tilde{\bf u}}_0(t)e^{-\kappa(\lambda) t} + {\tilde{\bf u}}^0_1e^{i\omega t}\;\; \rightarrow \;\; {\tilde{\bf u}}^0_1e^{i\omega t} \;\;\text{as}\;\;t\rightarrow \infty$$ Las oscilaciones imperturbables simplemente se extinguen, solo persisten las impulsadas.

Nota : Peter Diehr publicó su respuesta mientras yo escribía esto, pero no apareció en mi editor. Así que mucha superposición.

Permítanme intentar un enfoque más general.

Todas las fuerzas son, de un modo u otro, transportadas por partículas a una velocidad determinada. La intensidad de la fuerza en un momento dado corresponde a la intensidad de la fuente en el momento en que se emitió. Si la fuerza en un punto dado está oscilando, solo significa que la fuente estaba oscilando. Y debido a que todas las fuerzas conocidas no dependen directamente del tiempo de viaje (solo pueden disminuir con la distancia), entonces deben tener la misma frecuencia.

Ahora, si tiene una fuente en movimiento o un objetivo en movimiento, puede haber cambios en la frecuencia debido al efecto Doppler u otras cosas complicadas. Además, al considerar las interacciones de múltiples partículas, también puede haber comportamientos complejos que provoquen cambios en la frecuencia.

El siguiente punto es la consecuencia de esa fuerza sobre el sistema estudiado. Si el sistema es lineal (respuesta proporcional a la fuerza), entonces, casi por definición, la respuesta tendrá la misma frecuencia. Las otras respuestas fueron bastante buenas en ese punto en particular.

Editar: en realidad, algunas fuerzas pueden depender del tiempo de viaje. Centrémonos aquí en la interacción electromagnética.