Integral de camino fermiónico en el disco - Recuperación del estado de vacío

Question

Integral de camino fermiónico en el disco - Recuperación del estado de vacío

Física
fermiones
integral de trayectoria
teoría cuántica de campos

hijo de saturno

Estoy tratando de tener una mejor idea del operador para establecer el mapa en la teoría cuántica de campos. Existe una afirmación general para las teorías 2d de que hacer la ruta integral en un disco sin inserciones de operadores le da (la representación de la función de onda de) el estado fundamental. Polchinski resuelve esto explícitamente para el campo bosónico libre en las páginas 66-68 del Volumen 1 de su Teoría de supercuerdas. Como ejercicio autoasignado, ahora intento hacer lo mismo para el caso fermiónico, aunque tengo algunos problemas para evaluar la integral de trayectoria.

El sistema que estoy estudiando es la acción habitual de Dirac dada por

S = \int d t d s [i {\bar{ψ}}_{-} (\partial_{t} + \partial_{s}) ψ_{-} + i {\bar{ψ}}_{+} (\partial_{t} - \partial_{s}) ψ_{+}] .

$S = \int dt ds [i\bar{\psi}_-(\partial_{t} + \partial_{s})\psi_- + i\bar{\psi}_+(\partial_{t} - \partial_{s})\psi_+].$

Ahora quiero hacer la integral de trayectoria en el cilindro semi-infinito (o equivalentemente un disco unitario) con coordenadas $t \in [0,\infty)$ , y $s \in [0, 2\pi)$ .

\int_{ψ_{-} (0, s) = F (s), ψ_{+} (0, s) = gramo (s)} D ψ D \bar{ψ} {mi}^{- S}

$\int_{\psi_-(0,s) = f(s), \psi_+(0,s) = g(s)} \mathcal{D}\psi \mathcal{D} \bar{\psi} e^{-S}$ dónde

F (s) = \sum_{norte \in z} x_{norte} {mi}^{i norte s}, gramo (s) = \sum_{norte \in Z} ϕ_{norte} {mi}^{i norte s}

$f(s) = \sum_{n \in \mathbb{z}}\chi_n e^{ins},\,\,\,\,\,g(s) = \sum_{n\in \mathbb{Z}} \phi_n e^{ins}$ siendo las condiciones de contorno en el círculo unitario (

χ_{n}

$\chi_n$ ,

ϕ_{n}

$\phi_n$ siendo números de Grassmann). Tenga en cuenta que estoy imponiendo condiciones de contorno periódicas en los fermiones con respecto a

s

$s$ .

No estoy seguro de cómo proceder con la integral de trayectoria en este punto. El procedimiento habitual (al menos para campos bosónicos) de escribir su campo como $\phi = \phi_{cl} + \phi_{q}$ dónde $\phi_{cl}$ obedece las ecuaciones clásicas del movimiento y obedece las condiciones de contorno correctas y $\phi_q$ ser una fluctuación parece dar algunas cosas raras ya que la acción evaluada en una solución clásica da $0$ . Cualquier ayuda o sugerencia sería apreciada.

Editar: la expresión con la que estoy tratando de comparar es la siguiente:

El espacio de Hilbert desde la perspectiva de la función de onda está dado por funciones "cuadradas integrables" de infinitos números de Grassmann $f(\chi_i, \bar{\chi}_i)$ , $i$ siendo cualquier entero. La expresión para el hamiltoniano viene dada por

H = \sum_{norte \in Z} norte (x_{norte} \frac{\partial}{\partial x_{norte}} + {\bar{x}}_{norte} \frac{\partial}{\partial {\bar{x}}_{norte}}) .

$H = \sum_{n \in \mathbb{Z}} n(\chi_{n} \frac{\partial}{\partial \chi_n} + \bar{\chi}_{n} \frac{\partial}{\partial \bar{\chi}_n}).$ A partir de esto, se calcula que el estado fundamental es

⟨ x_{i}, {\bar{x}}_{i} | 0 ⟩ = \prod_{norte = 1}^{\infty} x_{- norte} {\bar{x}}_{- norte} .

$\langle \chi_i, \bar{\chi}_i|0\rangle = \prod_{n=1}^{\infty}\chi_{-n} \bar{\chi}_{-n}.$

Motl de Luboš

Hay muchos pequeños problemas aquí. Cuando es un disco, el área es

t \cdot d t \cdot d s

$t\cdot dt\cdot ds$ y no sin el

t

$t$ , ¿bien? Además, si trabaja con un disco de firma euclidiana, los términos cinéticos para los fermiones deben usar el complejo

\partial_{t} \pm i \partial_{s}

$\partial_t \pm i \partial_s$ y no la suma y la diferencia "como un cono de luz", ¿verdad? Pero cuando corrige todas estas cosas, debería ser sencillo calcular todas esas integrales gaussianas, completando cuadrados, etc. Deberá encontrar la solución clásica con las condiciones de contorno.

hijo de saturno

Gracias Lubos. Sí, todos los problemas que señala deben abordarse (principalmente provienen del uso de la acción en el cilindro en lugar del disco), sin embargo, no son lo que me preocupa. No puedo ver qué conectar para el

ψ

$\psi$ 's e integrar más. La solución clásica con condiciones de contorno sería simplemente que el

ψ^{'} s

$\psi's$ se mueven a la izquierda o a la derecha. Pero conectar esto a la acción me da cero.

Motl de Luboš

Estimado @childofsaturn, si tuviste la idea de hacer "lo mismo" con los fermiones por ti mismo, no deberías sorprenderte con estos resultados "más triviales". Esto será discutido en secciones como 4.4, 5.3, 6.3 etc. especialmente para el

b c

$bc$ sistema fantasma, que es realmente el mismo que su

ψ

$\psi$ está en una hoja plana del mundo. La suma de partición más simple es cero, y necesita ciertas inserciones para obtener un resultado distinto de cero. Estos serán generados automáticamente por las fórmulas de cadena, y también se puede ver que dependen de las condiciones de contorno de Grassmann si elige tenerlas.

hijo de saturno

Estimado Lubos, No estoy seguro de seguir. Tengo la expresión de función de onda para el estado fundamental que obtuve independientemente del formalismo del operador y que depende de infinitas variables de Grassmann. Ahora estoy tratando de ver si la integral de trayectoria me da el mismo resultado. La acción clásica que da cero (creo) implica que el estado fundamental no depende de las condiciones de contorno, lo cual no es cierto una vez que observamos la expresión funcional de onda.

hijo de saturno

Estimado @LubošMotl. Por favor, vea las ediciones.

Motl de Luboš

Bien. Sus ediciones no corrigieron ninguno de los "pequeños" errores que no le interesan, pero la forma de la función de onda del estado fundamental está bien. Verá que el funcional de onda es simplemente independiente de algunos (1/2) modos de Fourier, y lineal en otros (1/2 de ellos). no es solo

e x p (χ_{- n} χ_{n})

$exp(\chi_{-n}\chi_n)$ eso sería similar al caso bosónico. En principio, este resultado también se deriva de los cálculos de las condiciones de contorno. Pero simplemente se obtiene comprobando las integrales adicionales sobre las variables de límite de Grassmann. Algunos de ellos son cero, algunos de ellos no lo son.

Motl de Luboš

No se conoce ningún cálculo "en principio" que produzca el resultado en forma de producto infinito. Pero puede verificar que es el resultado correcto integrando sobre todos los

χ_{- n}

$\chi_{-n}$ y

{\bar{χ}}_{- n}

$\bar \chi_{-n}$ para obtener uno, los factores lineales se cancelan frente a la medida de integración.

hijo de saturno

Me temo que podría estar malinterpretando algo de lo que estás diciendo. ¿Por qué la integración sobre las configuraciones límite confirmaría nuestra respuesta? Y dado que el estado fundamental, como dijiste, es independiente de la mitad de los modos de Fourier, ¿la integración no daría cero? ¿Está sugiriendo que, dado que una integral de ruta explícita no puede dar la respuesta en la forma anterior, por lo tanto, debería verificarla por otros medios (¿integración?). Para reiterar mi confusión, lo que estoy buscando es un boceto de cómo se recuperaría la expresión del estado fundamental utilizando la integral de trayectoria. ¿Es eso posible hacerlo?

Motl de Luboš

Estimado @childofsaturn, es la integración sobre las variables que aparecen como factores que te dan 1, como

\int d θ_{1} d θ_{2} θ_{1} θ_{2} = - 1

$\int d\theta_1 \,d\theta_2 \,\theta_1\theta_2=-1$ , ¿DE ACUERDO? Si faltan algunas thetas o son excesivas, la integral es cero. ... Alternativamente, puede intentar descomponer la integral en infinitas integrales fermiónicas 1D o 2D cuyo resultado es uno de los infinitos factores. Tenga en cuenta que

S

$S$ es una suma superior

n

$n$ , entonces

\exp (- S)

$\exp(-S)$ es un producto terminado

n

$n$ , y las condiciones de contorno también se pueden escribir en términos de los modos de Fourier. Trate de calcular uno de estos factores, por ejemplo, para

χ_{5}, χ_{- 5}

$\chi_5,\chi_{-5}$

Respuestas (1)

Integral de camino fermiónico en el disco - Recuperación del estado de vacío

Hay muchos pequeños problemas aquí. Cuando es un disco, el área es $t\cdot dt\cdot ds$ y no sin el $t$ , ¿bien? Además, si trabaja con un disco de firma euclidiana, los términos cinéticos para los fermiones deben usar el complejo $\partial_t \pm i \partial_s$ y no la suma y la diferencia "como un cono de luz", ¿verdad? Pero cuando corrige todas estas cosas, debería ser sencillo calcular todas esas integrales gaussianas, completando cuadrados, etc. Deberá encontrar la solución clásica con las condiciones de contorno.
Gracias Lubos. Sí, todos los problemas que señala deben abordarse (principalmente provienen del uso de la acción en el cilindro en lugar del disco), sin embargo, no son lo que me preocupa. No puedo ver qué conectar para el $\psi$ 's e integrar más. La solución clásica con condiciones de contorno sería simplemente que el $\psi's$ se mueven a la izquierda o a la derecha. Pero conectar esto a la acción me da cero.
Estimado @childofsaturn, si tuviste la idea de hacer "lo mismo" con los fermiones por ti mismo, no deberías sorprenderte con estos resultados "más triviales". Esto será discutido en secciones como 4.4, 5.3, 6.3 etc. especialmente para el $bc$ sistema fantasma, que es realmente el mismo que su $\psi$ está en una hoja plana del mundo. La suma de partición más simple es cero, y necesita ciertas inserciones para obtener un resultado distinto de cero. Estos serán generados automáticamente por las fórmulas de cadena, y también se puede ver que dependen de las condiciones de contorno de Grassmann si elige tenerlas.
Estimado Lubos, No estoy seguro de seguir. Tengo la expresión de función de onda para el estado fundamental que obtuve independientemente del formalismo del operador y que depende de infinitas variables de Grassmann. Ahora estoy tratando de ver si la integral de trayectoria me da el mismo resultado. La acción clásica que da cero (creo) implica que el estado fundamental no depende de las condiciones de contorno, lo cual no es cierto una vez que observamos la expresión funcional de onda.
Bien. Sus ediciones no corrigieron ninguno de los "pequeños" errores que no le interesan, pero la forma de la función de onda del estado fundamental está bien. Verá que el funcional de onda es simplemente independiente de algunos (1/2) modos de Fourier, y lineal en otros (1/2 de ellos). no es solo $exp(\chi_{-n}\chi_n)$ eso sería similar al caso bosónico. En principio, este resultado también se deriva de los cálculos de las condiciones de contorno. Pero simplemente se obtiene comprobando las integrales adicionales sobre las variables de límite de Grassmann. Algunos de ellos son cero, algunos de ellos no lo son.
No se conoce ningún cálculo "en principio" que produzca el resultado en forma de producto infinito. Pero puede verificar que es el resultado correcto integrando sobre todos los $\chi_{-n}$ y $\bar \chi_{-n}$ para obtener uno, los factores lineales se cancelan frente a la medida de integración.
Me temo que podría estar malinterpretando algo de lo que estás diciendo. ¿Por qué la integración sobre las configuraciones límite confirmaría nuestra respuesta? Y dado que el estado fundamental, como dijiste, es independiente de la mitad de los modos de Fourier, ¿la integración no daría cero? ¿Está sugiriendo que, dado que una integral de ruta explícita no puede dar la respuesta en la forma anterior, por lo tanto, debería verificarla por otros medios (¿integración?). Para reiterar mi confusión, lo que estoy buscando es un boceto de cómo se recuperaría la expresión del estado fundamental utilizando la integral de trayectoria. ¿Es eso posible hacerlo?
Estimado @childofsaturn, es la integración sobre las variables que aparecen como factores que te dan 1, como $\int d\theta_1 \,d\theta_2 \,\theta_1\theta_2=-1$ , ¿DE ACUERDO? Si faltan algunas thetas o son excesivas, la integral es cero. ... Alternativamente, puede intentar descomponer la integral en infinitas integrales fermiónicas 1D o 2D cuyo resultado es uno de los infinitos factores. Tenga en cuenta que $S$ es una suma superior $n$ , entonces $\exp(-S)$ es un producto terminado $n$ , y las condiciones de contorno también se pueden escribir en términos de los modos de Fourier. Trate de calcular uno de estos factores, por ejemplo, para $\chi_5,\chi_{-5}$

jj_p · Answer 1

Hay una discusión de este problema en https://arxiv.org/abs/hep-th/9408089 donde superan el problema de la acción de desaparición mediante el uso de una factorización holomorfa para la parte clásica:

ψ = ψ_{cl} + d ψ

$\psi = \psi_\text{cl} + \delta \psi$ dónde

ψ_{cl}

$\psi_\text{cl}$ es real y obedece a Klein-Gordon con condiciones de contorno, mientras que

δ ψ = 0

$\delta \psi=0$ en el límite

En este caso la acción se factoriza como $A(\psi)= A(\psi_\text{cl}) + A(\delta \psi)$ (al menos eso es lo que dicen, todavía no entiendo completamente este paso); si es así, la segunda parte puede despreciarse, ya que proporciona una contribución que es independiente de las condiciones de contorno.

escribir explícitamente

ψ_{cl} = \sum_{metro > 0} ψ_{metro} {mi}^{metro z} + ψ_{- metro} {mi}^{metro \bar{z}}

$\psi_\text{cl} = \sum_{m>0} \psi_m e^{mz} + \psi_{-m} e^{m \bar z}$ y luego calcular

A (ψ_{cl}) \sim \sum_{metro > 0} ψ_{metro} ψ_{- metro}

$A(\psi_\text{cl}) \sim \sum_{m>0} \psi_m \psi_{-m}$ al observar que

w = e^{z}

$w=e^z$ vive en el disco

{x^{2} + y^{2} = 1}

$\{x^2+y^2=1\}$ en

R^{2}

$R^2$ , y finalmente el funcional de onda es

Ψ [ψ_{metro}] = {mi}^{A (ψ_{cl})} \sim \prod_{metro} ψ_{- metro} ψ_{metro}

$\Psi[\psi_m]=e^{A(\psi_\text{cl})}\sim \prod_m \psi_{-m} \psi_m$

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Motl de Luboš

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jj_p

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