Condición para una raíz común en dos ecuaciones cuadráticas dadas

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Condición para una raíz común en dos ecuaciones cuadráticas dadas

cuadráticas
Matemáticas
álgebra-precálculo
secuencias y series

Tejas

Si $a,\;b,\;c$ están en progresión geométrica, entonces las ecuaciones $ax^2+2bx+c=0$ y $dx^2+2ex+f=0$ tienen una raíz común si $\;\displaystyle\frac da,\;\frac eb,\;\frac fc$ están en:

Progresión aritmética
Progresión geométrica
Progresión Armónica

Considerando la primera ecuación como $a_1x^2+b_1x+c_1=0$ y el segundo como $a_2x^2+b_2x+c_2=0$ , apliqué la condición para la raíz común de dos ecuaciones cuadráticas, es decir,

(a_{1} b_{2} - b_{1} a_{2}) (b_{1} C_{2} - C_{1} b_{2}) = (C_{1} a_{2} - a_{1} C_{2})^{2}

$(a_1b_2-b_1a_2)(b_1c_2-c_1b_2)=(c_1a_2-a_1c_2)^2$ Sin embargo, da una gran ecuación en términos de las constantes y no me lleva ni cerca de encontrar la relación.

Respuestas (6)

Condición para una raíz común en dos ecuaciones cuadráticas dadas

ross milikan · Answer 1

Pista: no has usado la información que $a,b,c$ están en progresión geométrica. Puedes escribir $b=ar, c=ar^2$ y conéctelo a su condición, lo que lo simplifica. También puede configurar $a=1$ , que corresponde a dividir la ecuación original por $a$ -si es cero tu ecuacion es solo $0=0$ Puedes reemplazar la expresión de cada progresión en la segunda ecuación

Si sigues resolviendo $x^2+rx+r^2=0$ , encuentras que las raíces son proporcionales a $r$ -así que la progresión geométrica claramente no funcionará, ya que eso dice que las dos proporciones son diferentes.

Senex Ægypti Parvi · Answer 2

Para dos ecuaciones cuadráticas, $\begin{cases}a_0x^2+b_0x+c_0=0\\a_1x^2+b_1x+c_1=0\\\end{cases}$ , si el siguiente determinante
$\begin{vmatrix} a_0&b_0&c_0&0\\ 0&a_0&b_0&c_0\\ a_1&b_1&c_1&0\\ 0&a_1&b_1&c_1\\ \end{vmatrix}$
desaparece, entonces de hecho hay una raíz común para los dos.

laboratorio bhattacharjee · Answer 3

PISTA:

Dejar

\frac{C}{b} = \frac{b}{a} = r \neq 0 ⟹ b = a r, C = a r^{2}

$\frac cb=\frac ba=r\ne0\implies b=ar,c=ar^2$

Entonces, $ax^2+2bx+c=0\implies a(x^2+2rx+r^2)=0\implies x=-r$

⟹ d (- r)^{2} + 2 mi (- r) + F = 0 ⟹ r = \frac{mi \pm \sqrt{{mi}^{2} - d F}}{d}

$\implies d(-r)^2+2e(-r)+f=0\implies r=\frac{e\pm\sqrt{e^2-df}}d$

Un enfoque más corto sería dividir $dr^2-2er+f$ por $ar^2$ .

CO GTX · Answer 4

Tenga en cuenta que el discriminante de la primera ecuación es $b^2-4ac$ . Como a,b,c están en GP, debemos tener

b^{2} = a C

$b^2=ac$ Y obtenemos que el discriminante de la primera cuadrática sea 0. Por lo tanto

a x^{2} + 2 b x + c = 0

$ax^2+2bx+c=0$ tiene raíces iguales. Y dado que de acuerdo con la pregunta,

d x^{2} + 2 e x + f = 0

$dx^2+2ex+f=0$ tiene una raíz común, implica que ambas cuadráticas son proporcionales entre sí.

d X^{2} + 2 mi X + F = k (a X^{2} + 2 b X + C)

$dx^2+2ex+f=k(ax^2+2bx+c)$ Finalmente comparando los coeficientes obtenemos,

d = a k

$d=ak$ ,

2 e = 2 b k

$2e=2bk$ y

f = c k

$f=ck$ y por lo tanto

\frac{d}{a} = \frac{mi}{b} = \frac{F}{C} = k

$\frac da=\frac eb=\frac fc=k$ esta es la respuesta de escritura

usuario65203 · Answer 5

Pista :

Dejar $a=r^2c,b=rc$ . la primera ecuacion es

(r^{2} X^{2} + 2 r X + 1) C = (r X + 1)^{2} = 0.

$(r^2x^2+2rx+1)c=(rx+1)^2=0.$

La raíz es doble, $x=-\dfrac 1r$ !

Entonces

\frac{d}{r^{2}} - 2 \frac{mi}{r} + F = 0,

$\frac d{r^2}-2\frac er+f=0,$ y

C \frac{d}{a} - 2 C \frac{mi}{b} + C \frac{F}{C} = 0,

$c\frac da-2c\frac eb+c\frac fc=0,$ y tenemos una progresión aritmética.

Tejas · Answer 6

Usando el método de lab bhattarcharjee,

d (- r)^{2} + 2 mi (- r) + F = 0

$d(-r)^2+2e(-r)+f=0$

∴ d r^{2} - 2 mi r + F = 0

$\therefore dr^2-2er+f=0$ Dividiendo todo por

a r^{2}

$ar^2$ , obtenemos

\frac{d}{a} - \frac{2 mi}{a r} + \frac{F}{a r^{2}} = 0

$\frac da-\frac{2e}{ar}+\frac{f}{ar^2}=0$

∴ \frac{d}{a} + \frac{F}{C} = \frac{2 mi}{b}

$\therefore \frac da+\frac{f}{c}=\frac {2e}{b}$ De este modo,

\frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}

$\displaystyle \frac da,\; \frac eb,\;\frac fc$ están en progresión aritmética.

Condición para una raíz común en dos ecuaciones cuadráticas dadas

Tejas

Respuestas (6)

ross milikan

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Aditya Agarwal

CO GTX

usuario65203

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