Encontrar PPP conociendo PQ−→−×b→PQ→×b→\overrightarrow{PQ}×\overrightarrow{b}, PQ−→−⋅c→PQ→⋅c→\overrightarrow{PQ}⋅\overrightarrow{c} , b→b→\overrightarrow{b}, y c→c→\overrightarrow{c}

Dejar$Q$ser el punto$(1,2,3)$, dejar$\overrightarrow{b} = \langle -1, 0, 1\rangle$, y deja$\overrightarrow{c} = \langle 2, 1, 5\rangle$. Se sabe que$\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$y eso$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{c} = 5$.

Encuentra el punto$P$.

No tengo idea de por dónde empezar a resolver este problema, pero conozco las formas genéricas del producto escalar y el producto cruzado, así:

Ecuación genérica para el producto vectorial:

$$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\overrightarrow{i} + (a_3 b_1 - a_1 b_3)\overrightarrow{j} + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\overrightarrow{k}$$

Ecuación genérica para el producto escalar:

$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$

Entonces, usando este conocimiento podemos derivar una expresión para$\overrightarrow{PQ}$, dada la representación del punto$P$como$(p_1, p_2, p_3)$:

$$\overrightarrow{PQ} = \langle 1-p_1, 2-p_2, 3-p_3 \rangle$$

Entonces, para satisfacer$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{c} = 5$, podemos escribir la expresión:

$$\langle 2, 1, 5 \rangle \cdot \langle 1-p_1, 2-p_2, 3-p_3 \rangle = (2-2p_1) + (2-p_2) + (15-5p_3) = 5$$

Pero no estoy seguro de adónde ir desde aquí. Supongo que podría resolver un vector genérico en términos de$P$y combine esta función con la que usa el producto cruz, de manera similar.

¿Cómo puedo encontrar el valor del punto?$P$combinando las fórmulas del producto escalar y el producto cruzado?

Muchas gracias por tu ayuda; es súper apreciado!