¿Por qué puedo reemplazar un campo de indicador AμAμA^{\mu} por el actual jμjμj^{\mu} al que se acopla en el cálculo de una función de Green?

Hay un pequeño error en tu pregunta,$\langle T j^\mu(x)\psi(y)\overline{\psi}(z)\rangle$no es el mismo diagrama que$\langle T A^\mu(x)\psi(y)\overline{\psi}(z)\rangle$, este último contiene un propagador de fotones desnudo adicional, esto se puede ver considerando las posibles contracciones de los campos. Entonces su pregunta debe modificarse como: cómo probar la ecuación

$\langle T A^\mu(x)\psi(y)\overline{\psi}(z)\rangle=\int d^4s G^\mu_{\ \ \nu}(x,s)\langle T j^\nu(s)\psi(y)\overline{\psi}(z)\rangle\cdots\cdots(1),$

dónde$G(x,s)$es el propagador de fotones desnudo?

Como dijiste, esto se puede justificar simplemente inspeccionando los diagramas de Feynman correspondientes, ¡así que ya tienes una prueba perturbativa! Entonces, supongo que lo que realmente quiere es una prueba no perturbativa, aquí va: recuerde que el propagador de fotones desnudo es realmente solo el operador inverso (función de alias Green) del operador diferencial$d^{\mu}_{\ \ \nu}$en la ecuación de campo que actúa sobre$A^\nu$, por ejemplo, con un Lagrangiano calibrado de Lorentz$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{1}{2\xi}(\partial_\mu A^\mu)^2-j^\mu A_\mu+\mathcal{L}_{matter}$, la ecuación de campo es

$d^{\mu}_{\ \ \nu}A^\nu=[-\delta^\mu_{\ \ \nu}\partial^2+(1+\frac{1}{\xi})\partial^\mu\partial_\nu]A^\nu=j^\mu\cdots\cdots(2),$

y el propagador es solo$G^\mu_{\ \ \nu}=(d^{-1})^\mu_{\ \ \nu}$, eso es,

$[-\delta^\mu_{\ \ \nu}\partial^2+(1+\frac{1}{\xi})\partial^\mu\partial_\nu]G^\nu_{\ \ \rho}(x,s)=\delta^\mu_{\ \ \rho}\delta^4(x-s)$. Entonces, si "desconvolucionamos" (es decir, actuamos$d^{\mu}_{\ \ \nu}$en) ambos lados de la ecuación (1), obtendríamos una expresión equivalente como

$d^{\mu}_{x\ \nu}\langle T A^\nu(x)\psi(y)\overline{\psi}(z)\rangle=\langle T j^\mu(x)\psi(y)\overline{\psi}(z)\rangle\cdots\cdots(3),$

donde el subíndice$x$en$d^{\mu}_{x\ \nu}$indica la variable de espacio-tiempo sobre la que está actuando. Así que también podríamos probar (3). Ahora (3) se parece mucho a (2), pero hay que tener cuidado porque$d^{\mu}_{x\ \nu}$implica derivadas temporales, por lo tanto, no conmuta con el símbolo de ordenación temporal. Uno puede expandir el ordenamiento temporal en términos de funciones escalonadas y diferenciar término por término con cuidado, luego sumando los términos resultantes se mostrará que (3) es cierto, como si $d^{\mu}_{x\ \nu}$viajes diarios con orden de tiempo. Esto es mucho trabajo, pero uno puede usar un método mucho más eficiente llamado ecuación de Dyson-Schwinger (DS) (aunque todavía hay algo sutil al respecto que no entiendo, pero nunca me ha decepcionado en la práctica). Aplicando la ecuación DS a$\langle T\psi(y)\overline{\psi}(z)\rangle$al considerar las variaciones en los campos de calibre conducirá inmediatamente a la ecuación (3).

Por último, pero no menos importante (tal vez OP esté al tanto de lo siguiente, pero no puedo deducirlo de la pregunta, así que lo escribiré de todos modos), debo enfatizar en general que una relación simple como la ecuación (1) no se cumple si tiene más de un campo de indicador en el producto ordenado por tiempo. Por ejemplo, no puede obtener$\langle T A^\mu(x) A^\rho(y) j^\sigma(z) \rangle$simplemente conectando dos propagadores de fotones desnudos a$\langle T j^\mu(x) j^\rho(y) j^\sigma(z) \rangle$. Nuevamente puedes convencerte de dos maneras diferentes:

En términos de diagramas de Feynman, ahora puede tener una contracción de Wick entre puntos externos$A^\mu(x)$y$A^\rho(y)$(a diferencia de cuando solo tiene un operador de campo de calibre), este es solo un propagador de fotones desnudo. Las diferencias se pueden capturar visualmente mediante las siguientes figuras (tenga en cuenta que un blob no es necesariamente una parte conectada):

La segunda forma es nuevamente en términos de la ecuación DS, comienzas desde$\langle j^\sigma(z)\rangle$y aplica la ecuación DS iterativamente dos veces, obtendrás exactamente los términos correctos correspondientes al tercer diagrama anterior, y resulta que la contracción entre$A^\mu(x)$y$A^\rho(y)$corresponde a lo que se llama un "término de contacto" en la ecuación DS. Esta vez no puedes fingir$d^{\mu}_{\ \ \nu}$¡conmuta con el símbolo de orden de tiempo!