Valor de expectativa de vacío de funciones ordenadas por tiempo en QED

Question

Valor de expectativa de vacío de funciones ordenadas por tiempo en QED

Física
integral de trayectoria
teoría cuántica de campos
funciones de correlación
deberes-y-ejercicios
electrodinámica-cuántica

estudiante graduado

Me han pedido que tome la transformada de Fourier de la función de corriente EM de dos puntos

{GRAMO}_{m v} (X) = ⟨ Ω | T {j_{m} (X) j_{v} (0)} | Ω ⟩,

$G_{\mu \nu}(x) = \langle \Omega \lvert T\{J_{\mu}(x) J_{\nu}(0) \} \rvert \Omega \rangle,$ y probar algo específico sobre dicho resultado.

Sin embargo, tengo problemas con lo siguiente. ¿Debo calcular

⟨ Ω | T {j_{m} (X) j_{v} (0)} | Ω ⟩ = \frac{\int D ψ D \bar{ψ} j_{m} (X) j_{v} (0) {mi}^{i S [ψ, \bar{ψ}]}}{\int D ψ D \bar{ψ} {mi}^{i S [ψ, \bar{ψ}]}},

$\langle \Omega \lvert T\{J_{\mu}(x) J_{\nu}(0) \} \rvert \Omega \rangle =\frac{\int \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\bar{\psi} J_{\mu}(x) J_{\nu}(0) e^{iS[\psi, \bar{\psi}]}}{\int \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\bar{\psi} e^{iS[\psi, \bar{\psi}]}},$ o hay un mejor enfoque? Soy consciente de que el valor esperado del vacío también podría calcularse tomando la derivada funcional de la funcional generadora, pero dichas derivadas deben tomarse con respecto a las fuentes, y no estoy seguro si en ese caso debería tomar la derivada funcional con respecto a los campos

A_{μ} (x)

$A_{\mu}(x)$ y

A_{ν} (0)

$A_{\nu}(0)$ .

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Respuestas (1)

Valor de expectativa de vacío de funciones ordenadas por tiempo en QED

Profesor Legolasov · Answer 1

Hay una diferencia entre una fuente del campo cuántico en el formalismo de la integral de trayectoria y un operador de corriente, a pesar de que se denotan con la misma letra. $J_{\mu}$ . En esta respuesta, $J_{\mu}$ es el operador actual.

Entonces queremos calcular $\left< J_{\mu} (x) J_{\nu} (y) \right>$ . Lo primero que debe hacer es conectar la definición del operador actual E/M. Esto, por supuesto, depende de qué partículas cargadas estén presentes en su teoría. En el caso de los espinores, viene dado por

j_{m} (X) = i mi \bar{ψ} (X) γ^{m} ψ (X) .

$J_{\mu} (x) = i e \, \bar{\psi} (x) \, \gamma^{\mu} \, \psi (x).$

Ahora tienes que calcular

⟨ j_{m} (X) j_{v} (y) ⟩ = \int D ψ D \bar{ψ} {mi}^{i S [\bar{ψ}, ψ]} j_{m} (X) j_{v} (y),

$\left< J_{\mu} (x) J_{\nu} (y) \right> = \int D\psi D\bar{\psi} e^{i S[\bar{\psi}, \psi]} J_{\mu} (x) J_{\nu} (y),$

donde me permití omitir el factor de normalización en el denominador.

Inserta tu expresión para $J_{\mu} (x)$ y usa el teorema de Wick! Terminarás con tres términos.

Los dos primeros términos contendrán la traza de los productos de los propagadores de fermiones. Por un propagador de fermiones quiero decir

⟨ {\bar{ψ}}^{a} (X) ψ_{b} (y) ⟩ = S_{b}^{a} (X - y) .

$\left< \bar{\psi} ^a (x) \psi_b (y) \right> = S^a_{\;b}(x-y).$

El tercer término contendrá $S(0)^2$ . Este término es singular y debe eliminarse artificialmente al redefinir el operador cuántico $J_{\mu}$ como ordenado normalmente.

Espero que esto ayude.

Valor de expectativa de vacío de funciones ordenadas por tiempo en QED

estudiante graduado

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Profesor Legolasov

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