Construyendo la identidad de Ward asociada a las corrientes conservadas

Question

Construyendo la identidad de Ward asociada a las corrientes conservadas

Física
identidad de barrio
teorema de noethers
teoría cuántica de campos
funciones de correlación
tensión-energía-momentum-tensor

c y f

Considere construir la identidad de Ward asociada con la invariancia de Lorentz. Es posible encontrar un tensor de tercer rango $B^{\rho \mu \nu}$ antisimétrico en los dos primeros índices, entonces el tensor tensión-energía puede hacerse simétrico. Una vez hecho esto, la corriente conservada proveniente del análisis clásico es de la forma

j^{m v ρ} = T_{B}^{m v} X^{ρ} - T_{B}^{m ρ} X^{v}

$j^{\mu \nu \rho} = T_B^{\mu \nu}x^{\rho} - T_B^{\mu \rho}x^{\nu}$

Esto asegura la simetría de la corriente conservada que se puede ver más fácilmente invocando la ley de conservación.

\partial_{m} j^{m v ρ} = 0

$\partial_{\mu}j^{\mu \nu \rho} = 0$ y

\partial_{m} T_{B}^{m v} = \partial_{m} (T_{C}^{m v} + \partial_{ρ} B^{ρ m v}) = 0.

$\partial_{\mu}T_B^{\mu \nu} =\partial_{\mu} (T^{\mu \nu}_C + \partial_{\rho}B^{\rho \mu \nu}) = 0.$

Dejar $X$ denota un conjunto de $n$ campos. La identidad de Ward asociada con la invariancia de Lorentz es entonces

\begin{matrix} (1) & \partial_{m} ⟨ (T^{m} X^{ρ} - T^{m ρ} X^{v}) X ⟩ = \sum_{i} d (X - X_{i}) [X_{i}^{v} \partial_{i}^{ρ} - X_{i}^{ρ} \partial_{i}^{v} ⟨ X ⟩ - i S_{i}^{v ρ} ⟨ X ⟩] . \end{matrix}

$\partial_{\mu} \langle (T^{\mu}x^{\rho} - T^{\mu \rho}x^{\nu})X\rangle = \sum_i \delta(x-x_i)\left[ x^{\nu}_i \partial^{\rho}_i - x^{\rho}_i\partial^{\nu}_i\langle X \rangle - iS^{\nu \rho}_i \langle X \rangle\right].\tag{1}$

Esto es entonces igual a

⟨ (T^{ρ v} - T^{v ρ}) X ⟩ = - i \sum_{i} d (X - X_{i}) S_{i}^{v ρ} ⟨ X ⟩,

$\langle (T^{\rho \nu} - T^{\nu \rho})X \rangle = -i\sum_i \delta (x-x_i)S^{\nu \rho}_i\langle X \rangle,$

que establece que el tensor de tensión es simétrico dentro de las funciones de correlación, excepto en la posición de los otros campos del correlacionador.

Mi pregunta es: ¿cómo se deriva esta última ecuación y declaración?

Creo que la identidad de Ward asociada con la invariancia de traducción se usa después de tal vez dividir (1) así:

\sum_{i}^{norte} X_{i}^{v} \sum_{i}^{norte} d (X - X_{i}) \partial_{i}^{ρ} ⟨ X ⟩ - \sum_{i}^{norte} X_{i}^{ρ} \sum_{i}^{norte} d (X - X_{i}) \partial_{i}^{v} ⟨ X ⟩ - i \sum_{i}^{norte} d (X - X_{i}) S_{i}^{v ρ} ⟨ X ⟩

$\sum_i^n x^{\nu}_i \sum_i^n \delta(x-x_i)\partial^{\rho}_i \langle X \rangle - \sum_i^n x^{\rho}_i \sum_i^n \delta(x-x_i)\partial^{\nu}_i \langle X \rangle - i\sum_i^n\delta(x-x_i)S^{\nu \rho}_i\langle X \rangle$ y luego reemplazando

\partial_{m} ⟨ T_{ρ}^{m} X ⟩ = - \sum_{i} d (X - X_{i}) \frac{\partial}{\partial X_{i}^{ρ}} ⟨ X ⟩

$\partial_{\mu}\langle T^{\mu}_{\,\,\,\rho}X \rangle = -\sum_i \delta (x-x_i)\frac{\partial}{\partial x^{\rho}_i} \langle X \rangle$

Por ejemplo. El resultado que estoy obteniendo es que

⟨ ((\partial_{m} T^{m v}) X^{ρ} - (\partial_{m} T^{m ρ}) X^{v} + T^{ρ v} - T^{v ρ}) X ⟩ = \sum_{i} X_{i}^{v} \partial_{m} ⟨ T^{m ρ} X ⟩ + \sum_{i} X_{i}^{ρ} \partial_{m} ⟨ T^{m v} X ⟩ - i \sum_{i} d (X - X_{i}) S_{i}^{v ρ} ⟨ X ⟩

$\langle ((\partial_{\mu}T^{\mu \nu})x^{\rho} - (\partial_{\mu}T^{\mu \rho})x^{\nu} + T^{\rho \nu} - T^{\nu \rho})X \rangle = \sum_i x^{\nu}_i \partial_{\mu}\langle T^{\mu \rho}X \rangle + \sum_i x^{\rho}_i \partial_{\mu} \langle T^{\mu \nu} X \rangle - i\sum_i\delta(x-x_i)S^{\nu \rho}_i\langle X \rangle$ Para obtener el resultado requerido, esto significa que, por ejemplo,

\sum_{i} X_{i}^{v} \partial_{m} ⟨ T^{m ρ} X ⟩ = ⟨ (\partial_{m} T^{m ρ}) X^{v} X ⟩,

$\sum_i x^{\nu}_i \partial_{\mu} \langle T^{\mu \rho}X \rangle = \langle(\partial_{\mu}T^{\mu \rho})x^{\nu} X \rangle,$ ¿Pero por qué es este el caso? Con respecto a la declaración al final, ¿quieren decir que cuando la posición en el espacio

x

$x$ coincide con uno de los puntos donde se encuentra el campo

Φ_{i} \in X

$\Phi_i \in X$ toma el valor

x_{i}

$x_i$ (entonces

x = x_{i}

$x = x_i$ ) entonces la rhs tiende a infinito y la ecuación no tiene sentido?

una mente curiosa

Algunas sutilezas de notación:

\partial_{i}^{μ}

$\partial_i^\mu$ denotará

\partial^{μ}

$\partial^\mu$ bien

x_{i}

$x_i$ , es decir, el argumento del i-ésimo campo en

X

$X$ , ¿bien? Y lo que es

S_{i}^{μ ρ}

$S^{\mu\rho}_i$ ? Además, solo porque

\partial_{μ} T_{ρ}^{μ}

$\partial_\mu T^\mu_\rho$ desaparece clásicamente, esto no significa que

\partial_{μ} ⟨ T_{ρ}^{μ} X ⟩

$\partial_\mu\langle T^\mu_\rho X\rangle$ se desvanece cuánticamente: esto es precisamente lo que te dicen las identidades de Ward.

c y f

Sí.

S_{i}^{ν ρ}

$S^{\nu \rho}_i$ es el operador de giro para el i-ésimo campo. Gracias por aclarar eso, pero ahora no estoy seguro de qué permite la cancelación de los dos primeros términos. ¡Gracias ACuriousMind!

una mente curiosa

Tienes todo lo que necesitas, solo aplica la regla del producto a la izquierda de

(1)

$(1)$ y use su reemplazo de la última ecuación.

una mente curiosa

Bueno, siempre puedes eliminarlos más tarde. No estoy seguro de dónde radica su problema ahora: ¿El producto gobierna a la izquierda de

(1)

$(1)$ y en el rhs haz la "división" que hiciste en tu OP. Luego use el reemplazo de la última ecuación. en su OP y cancele los términos en ambos lados. Lo que queda es la Ec. querías mostrar.

c y f

Veo como se obtiene el lhs. Para los rhs que tengo

\sum_{i} X_{i}^{v} \partial_{m} ⟨ T^{m ρ} X ⟩ - \sum_{i} X_{i}^{ρ} \partial_{m} ⟨ T^{m v} X ⟩ - i \sum_{i} d (X - X_{i}) S^{v ρ} ⟨ X ⟩

$\sum_i x^{\nu}_i \partial_{\mu}\langle T^{\mu \rho} X\rangle - \sum_i x^{\rho}_i \partial_{\mu}\langle T^{\mu \nu} X \rangle - i\sum_i \delta(x-x_i)S^{\nu \rho}\langle X \rangle$

una mente curiosa

Sí, y los primeros dos términos son exactamente dos de los cuatro términos que obtienes con la regla del producto en la izquierda, por lo que se cancelan y listo. (Si no le parecen exactamente iguales, piense un poco en ellos, y si no los ve, probablemente debería preguntar eso en otra pregunta, o editar esta para reflejar eso)

c y f

Ya veo, supongo que esa fue mi pregunta desde el principio. He editado la pregunta para que quede más claro. Gracias

c y f

¿Tiene algún comentario con respecto a mi pregunta?

una mente curiosa

Tengo la sensación de que sé cómo resolverlo, pero cuando escribo el argumento es débil (y probablemente falso). Tenga la seguridad de que estoy pensando en esto, pero no puedo prometer nada;)

c y f

¡Lo siento! No fue mi intención forzarte, solo tuve la impresión de que lo sabías. creo que los campos

ϕ_{i}

$\phi_i$ pueden tratarse como variables estocásticas o aleatorias, por lo que tal vez

x^{ρ}

$x^{\rho}$ se puede tomar fuera del

⟨ . . ⟩

$\langle .. \rangle$ . Pero entonces eso significa que necesitaría

\sum_{i} x_{i}^{ρ} = x^{ρ}

$\sum_i x^{\rho}_i = x^{\rho}$ , que no creo que sea cierto. (La suma de todas las posiciones en las que se evalúan los campos no constituye el espacio completo).

c y f

Hola ACuriousMind, olvidé preguntarte si tenías algún comentario con respecto a la otra parte de mi pregunta aquí, que tenía que ver con la interpretación física del RHS de las identidades de la sala. ¿Por qué es cuando

x \neq x_{i}

$x \neq x_i$ , recuperamos los resultados clásicos? ¿Y cuál sería la explicación física de la divergencia cuando

x

$x$ coincide con

x_{i}

$x_i$ ? Muchas gracias.

mastrok

Su última ecuación en su pregunta no es cierta. Sin embargo cuando

δ (x - x_{i})

$\delta(x-x_i)$ se agrega a la suma de la izquierda, será correcta ya que

δ (x - x_{i}) x_{i}^{μ} = δ (x - x_{i}) x^{μ}

$\delta(x-x_i)x_i^{\mu} =\delta(x-x_i)x^{\mu}$

Respuestas (1)

Construyendo la identidad de Ward asociada a las corrientes conservadas

Algunas sutilezas de notación: $\partial_i^\mu$ denotará $\partial^\mu$ bien $x_i$ , es decir, el argumento del i-ésimo campo en $X$ , ¿bien? Y lo que es $S^{\mu\rho}_i$ ? Además, solo porque $\partial_\mu T^\mu_\rho$ desaparece clásicamente, esto no significa que $\partial_\mu\langle T^\mu_\rho X\rangle$ se desvanece cuánticamente: esto es precisamente lo que te dicen las identidades de Ward.
Sí. $S^{\nu \rho}_i$ es el operador de giro para el i-ésimo campo. Gracias por aclarar eso, pero ahora no estoy seguro de qué permite la cancelación de los dos primeros términos. ¡Gracias ACuriousMind!
Tienes todo lo que necesitas, solo aplica la regla del producto a la izquierda de $(1)$ y use su reemplazo de la última ecuación.
Bueno, siempre puedes eliminarlos más tarde. No estoy seguro de dónde radica su problema ahora: ¿El producto gobierna a la izquierda de $(1)$ y en el rhs haz la "división" que hiciste en tu OP. Luego use el reemplazo de la última ecuación. en su OP y cancele los términos en ambos lados. Lo que queda es la Ec. querías mostrar.
Veo como se obtiene el lhs. Para los rhs que tengo $\sum_{i} X_{i}^{v} \partial_{m} ⟨ T^{m ρ} X ⟩ - \sum_{i} X_{i}^{ρ} \partial_{m} ⟨ T^{m v} X ⟩ - i \sum_{i} d (X - X_{i}) S^{v ρ} ⟨ X ⟩$ $\sum_i x^{\nu}_i \partial_{\mu}\langle T^{\mu \rho} X\rangle - \sum_i x^{\rho}_i \partial_{\mu}\langle T^{\mu \nu} X \rangle - i\sum_i \delta(x-x_i)S^{\nu \rho}\langle X \rangle$
Sí, y los primeros dos términos son exactamente dos de los cuatro términos que obtienes con la regla del producto en la izquierda, por lo que se cancelan y listo. (Si no le parecen exactamente iguales, piense un poco en ellos, y si no los ve, probablemente debería preguntar eso en otra pregunta, o editar esta para reflejar eso)
Ya veo, supongo que esa fue mi pregunta desde el principio. He editado la pregunta para que quede más claro. Gracias
Tengo la sensación de que sé cómo resolverlo, pero cuando escribo el argumento es débil (y probablemente falso). Tenga la seguridad de que estoy pensando en esto, pero no puedo prometer nada;)
¡Lo siento! No fue mi intención forzarte, solo tuve la impresión de que lo sabías. creo que los campos $\phi_i$ pueden tratarse como variables estocásticas o aleatorias, por lo que tal vez $x^{\rho}$ se puede tomar fuera del $\langle .. \rangle$ . Pero entonces eso significa que necesitaría $\sum_i x^{\rho}_i = x^{\rho}$ , que no creo que sea cierto. (La suma de todas las posiciones en las que se evalúan los campos no constituye el espacio completo).
Hola ACuriousMind, olvidé preguntarte si tenías algún comentario con respecto a la otra parte de mi pregunta aquí, que tenía que ver con la interpretación física del RHS de las identidades de la sala. ¿Por qué es cuando $x \neq x_i$ , recuperamos los resultados clásicos? ¿Y cuál sería la explicación física de la divergencia cuando $x$ coincide con $x_i$ ? Muchas gracias.
Su última ecuación en su pregunta no es cierta. Sin embargo cuando $\delta(x-x_i)$ se agrega a la suma de la izquierda, será correcta ya que $\delta(x-x_i)x_i^{\mu} =\delta(x-x_i)x^{\mu}$

Nogueira · Answer 1

Este paso es incorrecto:

⟨ ((\partial_{m} T^{m v}) X^{ρ} - (\partial_{m} T^{m ρ}) X^{v} + T^{ρ v} - T^{v ρ}) X ⟩ = \sum_{i} X_{i}^{v} \partial_{m} ⟨ T^{m ρ} X ⟩ + \sum_{i} X_{i}^{ρ} \partial_{m} ⟨ T^{m v} X ⟩ - i \sum_{i} d (X - X_{i}) S_{i}^{v ρ} ⟨ X ⟩

$\langle ((\partial_{\mu}T^{\mu \nu})x^{\rho} - (\partial_{\mu}T^{\mu \rho})x^{\nu} + T^{\rho \nu} - T^{\nu \rho})X \rangle = \sum_i x^{\nu}_i \partial_{\mu}\langle T^{\mu \rho}X \rangle + \sum_i x^{\rho}_i \partial_{\mu} \langle T^{\mu \nu} X \rangle - i\sum_i\delta(x-x_i)S^{\nu \rho}_i\langle X \rangle$ porque

\sum_{i} X_{i}^{v} \partial_{m} ⟨ T^{m ρ} X ⟩ \neq \sum_{i} d (X - X_{i}) X_{i}^{v} \partial_{i}^{ρ} ⟨ X ⟩,

$\sum_i x^{\nu}_i \partial_{\mu}\langle T^{\mu \rho}X \rangle\neq \sum_i \delta(x-x_i) x^{\nu}_i \partial_i^{\rho}\langle X \rangle ,$ y la división también está mal

\sum_{i} d (X - X_{i}) X_{i}^{v} \partial_{i}^{ρ} ⟨ X ⟩ \neq \sum_{i} X_{i}^{v} \sum_{i} d (X - X_{i}) \partial_{i}^{ρ} ⟨ X ⟩ .

$\sum_i \delta(x-x_i) x^{\nu}_i \partial_i^{\rho}\langle X \rangle \neq\sum_i x^{\nu}_i\sum_i \delta(x-x_i) \partial_i^{\rho}\langle X \rangle .$ La forma correcta de proceder aquí es notar que la distribución

\partial_{m} ⟨ T_{ρ}^{m} X ⟩ = - \sum_{i} d (X - X_{i}) \frac{\partial}{\partial X_{i}^{ρ}} ⟨ X ⟩

$\partial_{\mu}\langle T^{\mu}_{\,\,\,\rho}X \rangle = -\sum_i \delta (x-x_i)\frac{\partial}{\partial x^{\rho}_i} \langle X \rangle$ actuando sobre una función de prueba

g (x)

$g(x)$ , cuando se compone con otra función

f (x)

$f (x)$ , da:

\int gramo (X) F (X) \partial_{m} ⟨ T_{ρ}^{m} X ⟩ = - \int gramo (X) \sum_{i} F (X_{i}) d (X - X_{i}) \frac{\partial}{\partial X_{i}^{ρ}} ⟨ X ⟩

$\int g (x)f (x)\partial_{\mu}\langle T^{\mu}_{\,\,\,\rho}X\rangle= - \int g (x)\sum_i f (x_i)\delta (x-x_i)\frac{\partial}{\partial x^{\rho}_i} \langle X \rangle$ en el sentido de distribución, tenemos la igualdad:

F (X) \partial_{m} ⟨ T_{ρ}^{m} X ⟩ = - \sum_{i} F (X_{i}) d (X - X_{i}) \frac{\partial}{\partial X_{i}^{ρ}} ⟨ X ⟩

$f (x)\partial_{\mu}\langle T^{\mu}_{\,\,\,\rho}X\rangle=-\sum_i f (x_i)\delta (x-x_i)\frac{\partial}{\partial x^{\rho}_i} \langle X \rangle$ En su caso, la función

f (x)

$f(x)$ que compone contigo la distribución es

x^{ρ}

$x^{\rho}$ y

x^{ν}

$x^{\nu}$ . Tenga en cuenta que

x^{μ}

$x^{\mu}$ es un número c y puede saltar fuera del valor esperado. Ahora, en la ec. 1, los términos sobre la lhs originados por la derivada que actúa solo sobre

⟨ T^{μ ν} X ⟩

$\langle T^{\mu\nu}X\rangle$ cancela los dos primeros términos de la derecha porque son la misma distribución .

ahora tienes eso $\langle T^{\mu\nu}(x) X\rangle$ es simétrico si $X$ no tengo campos en $x$ . Esto implica que como operador, $T^{\mu\nu}$ es simétrico

Construyendo la identidad de Ward asociada a las corrientes conservadas

c y f

una mente curiosa

c y f

una mente curiosa

una mente curiosa

c y f

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c y f

c y f

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c y f

c y f

mastrok

Respuestas (1)

Nogueira

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