Funciones de correlación y conexión con las identidades de los barrios

Para cualquier observable (local)$\mathcal{O}$, su valor esperado se define como

dónde

de hecho se llama la función de partición . Mi escritura$S_E$pretende mostrar que esto es para una teoría euclidiana (es decir, una teoría sobre una variedad riemanniana), para una teoría minkowskiana (es decir, una teoría sobre una variedad lorentziana), habría que agregar algunos$\mathrm{i}$por rotación de la mecha . He usado$\mathcal{D}\Phi$en lugar de$[\mathrm{d}\Phi]$para denotar la medida en el espacio de configuraciones de campo, ambas notaciones son ampliamente utilizadas. Es importante señalar que, en la mayoría de los casos, esta medida no se puede construir con rigor y solo se define en algún procedimiento de regularización, pero ingenuamente se puede pensar en ella como cualquier tipo de integración sobre el espacio de todas las configuraciones de campo posibles.$\Phi : \Sigma \rightarrow \mathbb{R}$, si$\Sigma$es su variedad de espacio-tiempo.

Ahora, tu intuición sobre esto es básicamente correcta.$\mathrm{e}^{-S_E[\Phi]}$es de hecho un factor de ponderación similar a Boltzmann, que, en el caso de QFT, pesa diferentes configuraciones de campo$\Phi$. Es obvio que este factor será máximo en mínimo$S_E[\Phi]$, por lo que la configuración de campo realizada clásicamente$\Phi_0$para cual$S_E[\Phi_0]$es un mínimo de la acción que más contribuye a esta integral. De hecho, el valor esperado de lo observable se define como un análogo exacto de la mecánica estadística clásica.

Escribe algo sobre una transformación, y desde el contexto de las identidades de Ward, asumo que está hablando de una transformación de calibre, que debería ser una simetría de la teoría. Explícitamente, la transformación está infinitesimalmente dada por

donde el$T^a$son generadores del grupo de simetría. Al ser una simetría de la teoría, ningún observable puede cambiar su valor bajo la transformación. Denotamos cantidades después de la transformación por números primos. Mirando algunos observables$\mathcal{O}$(su$X$), debemos tener eso

Ahora asumimos que nuestra simetría no es anómala, es decir$\mathcal{D}\Phi' = \mathcal{D}\Phi$. Entonces, para que se cumpla la igualdad, tenemos:

Si ahora expandes$\mathrm{e}^{-\int\mathrm{d}^d x \partial_\mu j^\mu_a \omega_a(x)}$a primer orden en$\omega_a$, conseguirás$\langle \mathcal{O} \rangle$en ambos lados de la ecuación, que se cancela, y los términos restantes son precisamente las identidades de Ward, es decir, la primera ecuación sobre la que preguntaste.

La segunda ecuación se sigue de hacer la transformación explícita en$\mathcal{O}$: (Suponiendo, como dijiste, que el$G_a$son los generadores$T^a$de la transformación): Mira de nuevo$(1)$. Desde que dijiste eso$\mathcal{O}$es una colección de campos, es

para algunos$n$. Ahora, lleva a cabo$(1)$en cada campo$\Phi$y mantener sólo los términos como máximo de primer orden en$\omega_a$. Este es exactamente tu$\delta \mathcal{O}$.

(Esto es "exacto" ya que consideramos una transformación de calibre infinitesimal, de todos modos. Hay fundamentos rigurosos en la teoría de Lie para este "descarte" de términos de orden superior. Sin embargo, es muy importante llevar estos trucos que tanto le gustan al físico. , ya que la respuesta que sale es correcta.)