Términos de contacto en la prueba de identidad del pupilo

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Términos de contacto en la prueba de identidad del pupilo

Física
identidad de barrio
teoría cuántica de campos
electrodinámica-cuántica

knzhou

Estoy confundido acerca de cómo desaparece un término de contacto al probar la identidad de Ward, es decir, el punto que sigue inmediatamente a la ecuación 5.52 en las notas de Weigand . Expresándolo todo en concreto, consideramos un proceso con un fotón externo y unos fermiones externos, dando una $S$ -elemento matriz

⟨ F | i ⟩ \sim ξ^{m} \int d X d X_{1} \dots \partial_{X}^{2} {∂̸}_{1} \dots ⟨ 0 | T A_{m} (X) ψ (X_{1}) \dots | 0 ⟩

$\langle f | i \rangle \sim \xi^\mu \int dx dx_1\ldots \, \partial_x^2 \not\partial_1 \ldots \langle 0 | T A_\mu(x) \psi(x_1)\ldots | 0 \rangle$ y aplicar las ecuaciones de Schwinger-Dyson para convertir esto en

⟨ F | i ⟩ \sim ξ^{m} \int d X d X_{1} \dots {∂̸}_{1} \dots ⟨ 0 | T j_{m} (X) ψ (X_{1}) \dots | 0 ⟩

$\langle f | i \rangle \sim \xi^\mu \int dx dx_1 \ldots \, \not\partial_1 \ldots \langle 0 | T j_\mu(x) \psi(x_1) \ldots | 0 \rangle$ mientras desecha un término de contacto, como se explica aquí . Ahora establecemos la polarización del fotón.

ξ^{μ} = k^{μ}

$\xi^\mu = k^\mu$ e integrar por partes para

⟨ F | i ⟩ \sim \int d X d X_{1} \dots {∂̸}_{1} \partial^{m} \dots ⟨ 0 | T j_{m} (X) ψ (X_{1}) \dots | 0 ⟩ .

$\langle f | i \rangle \sim \int dx dx_1 \ldots\, \not\partial_1 \partial^\mu \ldots \langle 0 | T j_\mu(x) \psi(x_1) \ldots | 0 \rangle.$ Ahora aplicamos la identidad Ward-Takahashi, generando más términos de contacto que se supone que son cero; Sin embargo, no entiendo por qué lo son. La aplicación directa de Ward-Takahashi da un término de contacto para cada fermión externo, uno de los cuales tiene la forma

⟨ F | i ⟩ \sim \int d X d X_{1} \dots {∂̸}_{1} ⟨ 0 | T mi ψ (X_{1}) \dots | 0 ⟩ d (X - X_{1}) \propto \int d X_{1} \dots {∂̸}_{1} \dots ⟨ 0 | T ψ (X_{1}) \dots | 0 ⟩ .

$\langle f | i \rangle \sim \int dx dx_1 \ldots \, \not\partial_1 \langle 0 | T e\psi(x_1) \ldots | 0 \rangle \delta(x - x_1) \propto \int dx_1 \ldots \, \not\partial_1 \ldots \langle 0 | T \psi(x_1) \ldots| 0 \rangle.$ A diferencia del caso anterior, este parece tener precisamente el tipo correcto de estructura de polos; es exactamente lo que obtendría si aplicara LSZ.

¿Que me estoy perdiendo aqui? ¿Por qué no contribuye este término de contacto?

una mente curiosa

no es

⟨ f | i ⟩

$\langle f\vert i\rangle$ ¿todavía se supone que es un elemento de matriz S conectado , por lo que el razonamiento sigue siendo el mismo?

knzhou

@ACuriousMind ¿Podría explicar el razonamiento con un poco más de detalle?

knzhou

@ACuriousMind En particular, no veo por qué esto está desconectado. Si tuviera que traducir este término de contacto en un diagrama, se vería como 'el fermión entrante absorbe el fotón entrante, y luego <el resto del diagrama>, y el fermión saliente se va', que no está necesariamente desconectado.

AccidentalFourierTransformar

El

⧸ \partial ∂̸ ⟨ \bar{ψ} ψ ⟩

$\not\!\partial\not\partial\langle\bar\psi\psi\rangle$ término no tiene la estructura polar correcta. Según Källén-Lehmann,

⟨ \bar{ψ} ψ ⟩ \sim \frac{1}{p̸ - m_{e}}

$\langle\bar\psi\psi\rangle\sim \frac{1}{\not p-m_e}$ . OTOH, la estructura de polo esperada es

\frac{1}{p̸ - m_{e}} \frac{1}{k̸ - m_{e}} \frac{1}{k_{γ}^{2}}

$\frac{1}{\not p-m_e}\frac{1}{\not k-m_e}\frac{1}{k_\gamma^2}$ .

knzhou

@AccidentalFourierTransform Ah, me arrepiento de no haber aprendido mejor LSZ. Pensé que la fórmula de reducción de LSZ para dos fermiones realmente parecía

{∂̸}_{1} {∂̸}_{2} ⟨ \bar{ψ} ψ ⟩

$\not\partial_1 \not \partial_2 \langle \bar{\psi} \psi \rangle$ . ¿Cuál es la diferencia clave entre lo que escribí y la fórmula real?

knzhou

Además, no creo que el

1 / k_{γ}^{2}

$1/k_\gamma^2$ falta el poste, ya nos encargamos de ello deshaciéndonos del

\partial_{x}^{2}

$\partial_x^2$ .

Respuestas (1)

Términos de contacto en la prueba de identidad del pupilo

no es $\langle f\vert i\rangle$ ¿todavía se supone que es un elemento de matriz S conectado , por lo que el razonamiento sigue siendo el mismo?
@ACuriousMind ¿Podría explicar el razonamiento con un poco más de detalle?
@ACuriousMind En particular, no veo por qué esto está desconectado. Si tuviera que traducir este término de contacto en un diagrama, se vería como 'el fermión entrante absorbe el fotón entrante, y luego <el resto del diagrama>, y el fermión saliente se va', que no está necesariamente desconectado.
El $\not\!\partial\not\partial\langle\bar\psi\psi\rangle$ término no tiene la estructura polar correcta. Según Källén-Lehmann, $\langle\bar\psi\psi\rangle\sim \frac{1}{\not p-m_e}$ . OTOH, la estructura de polo esperada es $\frac{1}{\not p-m_e}\frac{1}{\not k-m_e}\frac{1}{k_\gamma^2}$ .
@AccidentalFourierTransform Ah, me arrepiento de no haber aprendido mejor LSZ. Pensé que la fórmula de reducción de LSZ para dos fermiones realmente parecía $\not\partial_1 \not \partial_2 \langle \bar{\psi} \psi \rangle$ . ¿Cuál es la diferencia clave entre lo que escribí y la fórmula real?
Además, no creo que el $1/k_\gamma^2$ falta el poste, ya nos encargamos de ello deshaciéndonos del $\partial_x^2$ .

knzhou · Answer 1

En primer lugar, las siguientes razones no son correctas.

La contribución de la matriz S de dicho término de contacto se puede conectar. Esquemáticamente, hemos contraído un fotón externo y un fermión externo juntos. Es completamente posible que esto sea parte de un diagrama conectado.
El número de campos no es incorrecto. Hay exactamente tantos campos de fermiones como comenzamos, y exactamente tantos $\not\partial$ factores

El problema real es que la ubicación del polo ha sido desplazada por el término de contacto. Para ver esto, restauramos los factores exponenciales para

⟨ F | i ⟩ \sim \int d X d X_{1} \dots {mi}^{i k X} {mi}^{i k_{1} X_{1}} \dots {∂̸}_{1} ⟨ 0 | T mi ψ (X_{1}) \dots | 0 ⟩ d (X - X_{1}) .

$\langle f | i \rangle \sim \int dx dx_1 \ldots \, e^{ikx} e^{ik_1 x_1} \ldots \not\partial_1 \langle 0 | T e\psi(x_1) \ldots | 0 \rangle \delta(x - x_1).$ Evaluando la función delta, encontramos

⟨ F | i ⟩ \sim \int d X_{1} \dots {mi}^{i (k + k_{1}) X_{1}} \dots {∂̸}_{1} ⟨ 0 | T mi ψ (X_{1}) \dots | 0 ⟩ .

$\langle f | i \rangle \sim \int dx_1 \ldots \, e^{i(k+k_1) x_1} \ldots \not\partial_1 \langle 0 | T e\psi(x_1) \ldots | 0 \rangle.$ Esta es exactamente la fórmula de reducción LSZ para una situación con un fermión externo con impulso

k + k_{1}

$k+k_1$ . el problema es que

k + k_{1}

$k + k_1$ nunca está en el shell ya que requerimos

k_{1}

$k_1$ estar en el caparazón y

k^{2} = 0

$k^2 = 0$ , por lo que no obtenemos un

1 / (k + k_{1})

$1/(k+k_1)$ polo de la función de correlación. En otras palabras, aunque la función de correlación tiene el número correcto de polos, no los tiene en los lugares correctos.

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