Prueba de identidad Ward-Takahashi en Peskin y Schroeder, página 311

Question

Prueba de identidad Ward-Takahashi en Peskin y Schroeder, página 311

Física
simetría
identidad de barrio
Transformada de Fourier
teoría cuántica de campos
electrodinámica-cuántica

ROBIN RAJ

Estoy estudiando la derivación de la identidad de Ward Takahashi usando Peskin y Schroeder (Número de página 311) Lo que entiendo de sus declaraciones es lo siguiente, para un cambio de variables

\begin{matrix} (9.100) & ψ (X) \to (1 + i mi α (X)) ψ (X) . \end{matrix}

$\begin{equation} \psi(x) \to(1+ie\alpha(x))\psi(x). \tag{9.100} \end{equation}$ La densidad lagrangiana QED se transforma en

\begin{matrix} (9.101) & L \to L - mi \partial_{m} α \bar{ψ} γ^{m} ψ . \end{matrix}

$\begin{equation} \mathscr{L}\to \mathscr{L}-e\partial_\mu\alpha\overline{\psi}\gamma^\mu\psi. \tag{9.101} \end{equation}$ Estuve de acuerdo con sus declaraciones hasta aquí. Luego dice

"Esta transformación conduce a la siguiente identidad para la integral funcional sobre dos campos de fermiones
$\begin{matrix} (9.102) & \begin{aligned} 0 = \int D \bar{ψ} D ψ D A {mi}^{i \int d^{4} X L} {- i \int d^{4} X \partial_{m} α (X) [j^{m} (X) ψ (X_{1}) \bar{ψ} (X_{2})] \\ + (i mi α (X_{1}) ψ (X_{1})) \bar{ψ} (X_{2}) + ψ (X_{1}) (- i mi α (X_{2}) \bar{ψ} (X_{2}))} \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} 0=\int\mathscr{D}\overline{\psi}\mathscr{D}\psi\mathscr{D}Ae^{i\int d^4x\mathscr{L}}\Bigg\{-i\int d^4x\partial_\mu\alpha(x)\Bigg[j^\mu(x)\psi(x_1)\overline{\psi}(x_2)\Bigg]\\+\bigg(ie\alpha(x_1)\psi(x_1)\bigg)\overline{\psi}(x_2)+\psi(x_1)\big(-ie\alpha(x_2)\overline{\psi}(x_2)\big)\Bigg\} \end{align} \tag{9.102}$ con $j^\mu=e\overline{\psi}\gamma^\mu\psi$ . [...] Dividiendo esta ecuación por $Z$ da $\begin{matrix} (9.103) & \begin{aligned} i \partial_{m} ⟨ 0 | T j^{m} (X) ψ (X_{1}) \bar{ψ} (X_{2}) | 0 ⟩ = - i mi d (X - X_{1}) ⟩ ⟨ 0 | ψ (X_{1}) \bar{ψ} (X_{2}) | 0 ⟩ + i mi d (X - X_{2}) ⟨ 0 | ψ (X_{1}) \bar{ψ} (X_{2}) | 0 ⟩ . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} i\partial_\mu⟨0|Tj^\mu(x)\psi(x_1)\overline{\psi}(x_2)|0⟩=-ie\delta (x-x_1)⟩⟨0|\psi(x_1)\overline{\psi}(x_2)|0⟩ +ie\delta (x-x_2)⟨0|\psi(x_1)\overline{\psi}(x_2)|0⟩.\end{align} \tag{9.103}$ Para poner esta ecuación en una forma más familiar, calcule su transformada de Fourier integrando $\begin{matrix} (9.104) & \int d^{4} X {mi}^{- i k \cdot X} \int d^{4} X_{1} {mi}^{i q \cdot X_{1}} \int d^{4} X_{1} {mi}^{- i pag \cdot X_{2}} . \end{matrix}$ $\begin{equation} \int d^4xe^{-ik\cdot x}\int d^4x_1e^{iq\cdot x_1}\int d^4x_1e^{-ip\cdot x_2}. \tag{9.104} \end{equation}$ Entonces las amplitudes anteriores convertidas como $\begin{matrix} (9.105) & - i k_{m} {METRO}^{m} (k; pag; q) = - i mi {METRO}_{0} (pag; q - k) + i mi {METRO}_{0} (pag + k; q) . \end{matrix}$ $\begin{equation} -ik_\mu\mathscr{M}^\mu(k;p;q)=-ie\mathscr{M}_0(p;q-k)+ie\mathscr{M}_0(p+k;q). \tag{9.105} \end{equation}$ Esta es exactamente la identidad Ward-Takahashi para dos fermiones externos".

mis preguntas son

¿Cómo consiguió
$\begin{matrix} (9.102) & \begin{aligned} 0 = \int D \bar{ψ} D ψ D A {mi}^{i \int d^{4} X L} {- i \int d^{4} X \partial_{m} α (X) [j^{m} (X) ψ (X_{1}) \bar{ψ} (X_{2})] \\ + (i mi α (X_{1}) ψ (X_{1})) \bar{ψ} (X_{2}) + ψ (X_{1}) (- i mi α (X_{2}) \bar{ψ} (X_{2}))} ? \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} 0=\int\mathscr{D}\overline{\psi}\mathscr{D}\psi\mathscr{D}Ae^{i\int d^4x\mathscr{L}}\Bigg\{-i\int d^4x\partial_\mu\alpha(x)\Bigg[j^\mu(x)\psi(x_1)\overline{\psi}(x_2)\Bigg]\\+\bigg(ie\alpha(x_1)\psi(x_1)\bigg)\overline{\psi}(x_2)+\psi(x_1)\big(-ie\alpha(x_2)\overline{\psi}(x_2)\big)\Bigg\}~? \end{align} \tag{9.102}$
Al dividir esta ecuación por $Z$ da
$\begin{matrix} (9.103) & \begin{aligned} i \partial_{m} ⟨ 0 | T j^{m} (X) ψ (X_{1}) \bar{ψ} (X_{2}) | 0 ⟩ = - i mi d (X - X_{1}) ⟩ ⟨ 0 | ψ (X_{1}) \bar{ψ} (X_{2}) | 0 ⟩ + i mi d (X - X_{2}) ⟨ 0 | ψ (X_{1}) \bar{ψ} (X_{2}) | 0 ⟩, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} i\partial_\mu⟨0|Tj^\mu(x)\psi(x_1)\overline{\psi}(x_2)|0⟩=-ie\delta (x-x_1)⟩⟨0|\psi(x_1)\overline{\psi}(x_2)|0⟩ +ie\delta (x-x_2)⟨0|\psi(x_1)\overline{\psi}(x_2)|0⟩,\end{align}\tag{9.103}$ ¿Cómo consiguió esto?
Al tomar la transformada de Fourier, ¿por qué toma $(-k,q,-p)$ como el conjunto de momento en exponencial en lugar de $(-k,-q,-p)$ ? Por favor, ayúdame a tener una intuición.

qmecanico

¿ Entiendes la derivación de las ecuaciones de Schwinger-Dyson ?

ROBIN RAJ

Lo leí de Peskin y Shroeder, lo entiendo con algunos rasguños en alguna parte, vendré con dudas sobre eso más tarde @ Q Mechanical

Respuestas (1)

Prueba de identidad Ward-Takahashi en Peskin y Schroeder, página 311

¿ Entiendes la derivación de las ecuaciones de Schwinger-Dyson ?
Lo leí de Peskin y Shroeder, lo entiendo con algunos rasguños en alguna parte, vendré con dudas sobre eso más tarde @ Q Mechanical

Mauro Giliberti · Answer 1

Necesitas tomar la integral funcional estándar $\int \mathcal{D}[\psi, \bar{\psi}, A] e^{i\int d^4x\mathcal{L}[\psi, \bar{\psi}, A]} (\psi \bar{\psi})$ y expandir tanto los campos como el lagrangiano. Utilizando el hecho de que la medida funcional $\mathcal{D}$ y la integral como un todo son invariantes, tendrás un término que es el mismo que el no expandido (de ahí el $0=...$ ) y otros términos que son los que puedes ver en el libro.
La definición de la función de correlación en términos de la integral funcional se puede dar como la integral de los campos (es decir, la derivada de $Z[J]$ valorado en $J=0$ ), dividido por $Z[0]$ . Consulte las páginas anteriores del libro para ver ejemplos de esto.
No estoy seguro de lo que quieres decir. ¿Por qué debería haber elegido $-q$ ¿en cambio?

1) Este cambio en el lagrangiano no afecta la generación funcional y, por lo tanto, las funciones de correlación, ¿esto sucede por qué? @Mauro Giliberti
@ROBINRAJ porque ambos $\psi$ y su transformacion $\psi '$ son soluciones de la misma ecuación de movimiento, y dan cuenta de la misma funcional generatriz. $\int \mathcal{D}[\psi, \bar{\psi}, A] e^{i\int d^4x\mathcal{L}[\psi, \bar{\psi}, A]} (\psi \bar{\psi})=\int \mathcal{D}[\psi' , \bar{\psi'}, A] e^{i\int d^4x\mathcal{L}[\psi', \bar{\psi'}, A]} (\psi' \bar{\psi'})$ y usando el hecho de que la medida funcional no cambia, obtienes la ecuación anterior.
¿Es esto cierto para las transformaciones no infinitesimales? @ Mauro Giliberti
Por qué el autor toma el vacío que no interactúa $(|0⟩)$ en lugar de interactuar con el vacío $(|\Omega⟩)$ @Mauro Giliberti
@ROBINRAJ es cierto para cada transformación de calibre, es la definición de transformación de calibre en sí misma. Habla de estados de vacío que no interactúan porque así es como se define la función generadora en términos de la función de correlación. Además, los comentarios no son para una discusión extensa: si tiene más preguntas, debe escribirlas como publicaciones separadas.
El autor toma el vacío interactivo para definir la función de correlación. ¿Puede consultar la ecuación número 9.18 y 9.81 de Peskin y Shroeder @Mauro Giliberti?

Prueba de identidad Ward-Takahashi en Peskin y Schroeder, página 311

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qmecanico

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Mauro Giliberti

ROBIN RAJ

Mauro Giliberti

ROBIN RAJ

ROBIN RAJ

Mauro Giliberti

ROBIN RAJ

Sin rastro del tensor de tensión-energía en d=2d=2d=2

¿Por qué las identidades de Ward solo deben usarse con la acción efectiva (a diferencia de la generación funcional para diagramas conectados)?

Algunas preguntas sobre la identidad de Ward-Takahashi

Términos de contacto en la prueba de identidad del pupilo

Ward Identity y Proca Fields

¿Por qué puedo reemplazar un campo de indicador AμAμA^{\mu} por el actual jμjμj^{\mu} al que se acopla en el cálculo de una función de Green?

QED y anomalía

Prueba de la página 334 del libro de Peskin de Z1 = Z2Z1 = Z2Z_1 = Z_2 para todos los órdenes en la teoría de perturbaciones QED

La identidad Ward-Takahashi en Peskin y Schroeder (página 311)

¿Puedes medir una simetría U(1)LU(1)LU(1)_L?