Prueba de la página 334 del libro de Peskin de Z1 = Z2Z1 = Z2Z_1 = Z_2 para todos los órdenes en la teoría de perturbaciones QED

El diagrama de vértice no normalizado y el diagrama de energía propia no normalizado son los siguientes:

Ahora, permítanme resumir lo que Peskin y Schroeder intentan expresar. Propagadores de Feynman para electrones

$$S_F=\frac{i}{\require{cancel}\cancel p-m}$$ fotón final $$D_F=\frac{-ig_{\mu\nu}}{q^2}$$ y el propagador debe contener $$S_F(p)S_F^{-1}=\mathbb{1}$$ simplemente diferenciándolo $$\frac{dS_F(p)}{dp^{\mu}}S_F^{-1}=-S_F\frac{dS_F^{-1}}{dp^{\mu}}$$ $$\frac{dS_F(p)}{dp^{\mu}}=-S_F(p)\frac{dS_F^{-1}}{dp^{\mu}}S_F(p)$$ Ya que $S_F^{-1}$debe sostener $S_F(p)S_F^{-1}=\mathbb{1}$ $$S_F^{-1}(p)=-i(\cancel p-m)$$ y $$\frac{dS_F^{-1}(p)}{dp^{\mu}}=-i\gamma_{\mu}$$ $$\Longrightarrow \frac{dS_F(p)}{dp^{\mu}}=iS_F(p)\gamma_{\mu}S_F(p)$$ Eso definitivamente se ve así para $q^2=0$

¡Esto es como si el propagador derivado fuera simplemente igual al agregarle fotones! Permítanme escribir el diagrama de autoenergía de electrones no normalizados como se muestra arriba. (Solo invierta los impulsos de fotones y electrones)

$$\Sigma_2(p)=-ie^2\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\gamma^{\mu}S_F(p-k)\gamma_{\mu}D_F(k)$$ Si deriva este, suponga que obtiene el diagrama de vértice. ¡Recuerda agregar un fotón más! Así que puedo escribir esto de la siguiente manera $$\Gamma_{2\nu}(p,p)=\frac{d\Sigma_2}{dp^{\nu}}=e^2\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\gamma^{\mu}S_F(p-k)\gamma_{\nu}S_F(p-k)\gamma_{\mu}D_F(k)$$ dónde $$S_F(p-k)\gamma_{\nu}S_F(p-k)=i\frac{\partial S_F}{\partial p^{\nu}}$$ como calculamos arriba. A medida que aumenta el orden de la derivada, agrega más propagador. Suponer $\Lambda_{\mu}$todas las correcciones de bucle del diagrama de vértices. Podemos escribir $$\frac{d\Sigma(p)}{dp^{\mu}}=\Lambda_{\mu}(p,p)=\Gamma_{\mu}(p,p)-\gamma_{\mu}$$ Así que las condiciones en 10.40 se mantienen.

El diagrama de vértices no renormalizado es la integral de Feynman regularizada dimensionalmente correspondiente al siguiente diagrama de Feynman simple:

Se llama 'no renormalizado' porque no está acompañado por un diagrama en el que el bucle de impulso se reemplaza por un vértice de contratérmino generado por el QED Lagrangiano. Agregar un segundo diagrama de Feynman con el vértice del contratérmino en lugar del bucle de momento cancelaría precisamente la divergencia del diagrama que se muestra.