Significado de "agujeros" contados por grupos de homología

La "dimensión" de un agujero es la dimensión de la pieza que realmente existe. Para una esfera, entonces, tenemos un$2$-límite dimensional, al que le falta un$3$-bola dimensional en su interior. A eso lo llamamos un$2$-agujero dimensional.

De manera similar, para un círculo, tenemos un$1$-límite dimensional al que le falta un$2$-Disco dimensional en su interior. Así que eso es un$1$-agujero dimensional.

Ahora para un toro. Tenemos dos$1$-agujeros dimensionales, es decir, círculos que no unen discos (¿ves lo que son?). También tenemos un$2$-agujero dimensional. Eso es un$2$-superficie dimensional (el propio toro) que no es el límite de un$3$-superficie dimensional. Este es el "aire" dentro del tubo interior.

En general, un "$n$-agujero dimensional" es un$n$subcomplejo bidimensional (sin límites) que no es el límite de un$n+1$-subcomplejo dimensional. Observe cómo esto se puede formalizar con el lenguaje estándar de homología, donde un elemento de la$n$El grupo de homología es un ciclo que no es un límite.

Espero que esto ayude ^_^

Brevemente, la dimensión del agujero es la dimensión del "testigo" necesario para detectarlo.

Con un poco más de detalle, cuando hablamos de un$k$-agujero dimensional en un espacio, solo significa que necesitas un$k$subvariedad cerrada bidimensional para detectarlo. A menudo es suficiente usar$k$-esferas dimensionales$S^k$para hacer esto --- tenga en cuenta que un$0$-esfera es solo un par de puntos$S^{0} = \{N, S\}$, que llamaré norte y sur, respectivamente. Una esfera no tiene límite (en el sentido múltiple), por lo que siempre es un ciclo. La idea utilizada para detectar un agujero es dibujar un$k$-esfera que encierra el agujero, e intente "colorearla" para obtener una$k+1$-pelota. Si esto es imposible, entonces ha encontrado un$k$-ciclo dimensional que no es un límite, y por lo tanto un elemento no trivial de la$k$grupo de homología.

Por ejemplo, considere$\mathbb{R} \setminus \{0\}$. El agujero aquí se puede detectar dibujando un$0$-esfera que encierra el origen (es decir, tal que$S < 0 < N$). Claramente no puedes "colorear" el$0$-esfera para obtener un$1$-pelota (es decir, un intervalo). Por lo tanto, esto$0$-esfera es un elemento no trivial de$H_0$, y es testigo de la existencia de la$0$- Agujero dimensional o "corte" en nuestro espacio.

Ahora considere$\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$. Tenemos una$1$-agujero dimensional o "túnel" en el origen aquí, ya que necesita un bucle (es decir, un mapa$S^1 \to \mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$) para detectar este agujero. Simplemente dibuja el bucle para que encierre el agujero, y el hecho de que este bucle no se puede llenar para hacer un disco es testigo de la existencia de un$1$-agujero dimensional.

Por otro lado, considere$\mathbb{R}^3 \setminus \{ 0 \}$. Ahora un bucle ya no será suficiente para detectar el agujero, ya que no se "atascará" en el agujero cuando lo contraigas. Por otro lado, si dibujas un$2$-esfera$S^2$encerrando el origen, entonces que$2$-la esfera no puede ser rellenada, por lo tanto, atestiguar la existencia de una$2$-agujero dimensional o "cavidad" en el origen.

El mismo principio se aplica a los agujeros de dimensiones superiores: un cerrado$3$-Se necesita una subvariedad para detectar una$3$-agujero dimensional, etc.

Ya que preguntaste sobre el Torus: esto tiene solo un componente conectado (sin cortes), entonces$H_0$es$1$-dimensional como un$\mathbb{Z}$-módulo. Luego tiene dos agujeros unidimensionales, atestiguados por dos círculos: para el agujero bidimensional o "cavidad", en lugar de usar una esfera bidimensional como testigo, ¡podemos usar el toro mismo! El toro es, por supuesto, una 2-subvariedad de sí mismo. Dado que no tiene límite, y no se puede "rellenar" el toroide, entonces esto es testigo de la existencia de la cavidad en el interior.

No estoy seguro de si esto agrega mucho a la otra respuesta, pero aquí hay algunos pensamientos de alguien que se metió en la topología recientemente.

En primer lugar, el concepto de homología que representa$k$Los "agujeros" dimensionales no necesariamente tienen la intención de ser precisos. Es una buena perspectiva para comprender la homología, pero a menudo en topología no vale la pena el esfuerzo de convertir datos algebraicos en datos geométricos literales (especialmente porque de todos modos no podemos visualizar dimensiones más altas).

Dicho esto, aquí está mi perspectiva. Por definición, los grupos de homología son "límites mod de ciclos". Puedes pensar en un "ciclo" como el "límite de un agujero". La pregunta es si ese hueco se rellena o no dentro del espacio.

• Para ser concretos, considere el$2$-toro$T$.
• cualquier círculo$S^1$dentro de$T$representa un$1$-ciclo, pero, en general, este círculo puede o no estar "llenado".
  • Si elige un círculo pequeño que se encuentra en la superficie del toro, entonces el círculo se "rellena" en el sentido de que limita un$2$-disco. En este caso, el círculo (un ciclo) pasa a ser un límite (de un$2$-disco), por lo que esto representa una clase de homología trivial.
  • Si elige un círculo que rodea el tubo interior (como lo llamó @HallaSurvivor), entonces tiene un$1$-ciclo que no se puede completar. Eso significa que el círculo no es el límite de ningún$2$-disco en$T$. Por lo tanto, este ciclo representa una clase de homología no trivial en$H_1(T)$.

Por supuesto, el "agujero" delimitado por este círculo no es parte de$T$. Por esta razón, no tiene sentido hablar de la dimensión de la parte faltante real. Por ejemplo, considere$X=\Bbb R^2\setminus\{(0,0)\}$. El círculo unitario representa una clase no trivial en$H_1(X)$, pero el "agujero" que falta es solo un punto. De hecho,$X$es la homotopía equivalente a$S^1$, por lo que el invariante de homotopía real es la dimensión del ciclo , no el agujero que falta.

Las otras respuestas son buenas para explicar cómo pensar sobre la teoría estándar, pero creo que falta una discusión sobre por qué esta formulación es preferible.

El remate de su intuición: es comprensible visualizar los espacios topológicos como subespacios del espacio euclidiano. Pero debe tener en cuenta dónde falla esto. ¿Por qué el "agujero" en una esfera no es el vacío en el medio? Porque si el mundo es una esfera y nada más, el "vacío en medio de una esfera" no existe para discutir.

Digamos que queremos formular una teoría de agujeros en espacios. Antes de escribir cualquier codificación formal, debemos ser precisos sobre lo que queremos decir con "agujero", y parece que hay dos opciones para comenzar en esa dirección:

1. Un agujero es un vacío donde podría haber estado el material.
2. Un agujero es un círculo que no está lleno de material.

Estas ideas son sutilmente diferentes. Para especificar un agujero en la Versión 1, debemos decir qué material constituye el vacío, y tener una condición que nos permita decir "falta ese material". La versión 2 es la versión estándar. Especifica agujeros usando círculos, y todo lo que usamos para hablar sobre agujeros en homología, incluyendo su dimensión, se basa en esto.

Para ser más precisos para la Versión 1, este enfoque puede llevarnos a decir: "Un espacio topológico$Y$tiene un$k$-agujero dimensional si$Y\subseteq X$y hay un$k$-dimensional$U \subseteq X - Y$con$\partial U \subseteq Y$." Este no era un punto de partida irrazonable, pero pensándolo detenidamente, no hay claramente una teoría viable. Incluso si la hubiera, la teoría es "extrínseca": para especificar un agujero en$Y$, debemos incrustarlo en un espacio más grande$X$. Al hacer referencia a un espacio más grande, hemos hecho que nuestro trabajo de formalizar esta teoría sea mucho más difícil. ¿Nuestra teoría de la homología depende de la incrustación? ya no tenemos$H_k(Y)$, tenemos$H_k(Y\subseteq X)$.

En la versión 2 (el enfoque estándar), para especificar un hueco proporcionamos un "testigo": un círculo en el espacio que no está lleno. Esta teoría es "intrínseca": un agujero en$Y$se puede especificar utilizando sólo$Y$sin referencia a nada más. Un espacio topológico$Y$tiene un agujero k-dimensional si hay un círculo k-dimensional (mejor: un ciclo k-dimensional) en$Y$que carece de material en$Y$llenándolo