¿Cómo integrar ∫1sin4xcos4xdx∫1sin4⁡xcos4⁡xdx\int \frac{1}{\sin^4 x \cos^4 x}\,dx?

La integral en cuestión es:

∫ 1 pecado 4 ⁡ X porque 4 ⁡ X d X

Traté de usar 1 = pecado 2 ⁡ X + porque 2 ⁡ X , pero no me lleva a ninguna parte.

Otro intento fue convertirlo en segundo y csc , pero algunos factores de cosec siempre permanecieron cuando sustituí segundo ⁡ X como t.

Por favor, indique dónde debo proceder. ¡Gracias!

Nuestra función es básicamente 1 / pecado 4 ⁡ ( 2 X ) . esto es lo que creo csc 2 ⁡ ( 2 X ) ( cuna 2 ⁡ ( 2 X ) + 1 ) , o algo así. Ahora hay una sustitución fácil.

Respuestas (3)

Usando la sustitución X = arcán ⁡ t tenemos d X = d t 1 + t 2 y pecado 2 ⁡ ( X ) = t 2 1 + t 2 , porque 2 ⁡ ( X ) = 1 1 + t 2 , por eso

∫ d X pecado 4 ⁡ ( X ) porque 4 ⁡ ( X ) = ∫ ( 1 + t 2 ) 3 t 4 d t
y la última integral es sencilla de calcular a través de la fórmula binomial. es igual a:
C − 1 3 t 3 − 3 t + 3 t + t 3 3 .

wow, ¿cómo se te ocurrió esa idea?, simplemente increíble.
Muy buen trabajo. Una solución inteligente.

Pista:

Usar

1 = ( pecado 2 ⁡ X + porque 2 ⁡ X ) 2 = pecado 4 ⁡ X + porque 4 ⁡ X + 2 pecado 2 ⁡ X porque 2 ⁡ X ( pecado 2 ⁡ X + porque 2 ⁡ X )

Ahora ∫ segundo 4 ⁡ X   d X = ∫ ( 1 + broncearse 2 ⁡ X ) segundo 2 ⁡ X   d X = ?

( pecado ⁡ ( X ) ⋅ porque ⁡ ( X ) ) 4 = pecado ⁡ ( 2 X ) 4 dieciséis . Creo que ahora es fácil convertirlo a broncearse ⁡ ( X )

¿Cómo integrar ∫1sin4xcos4xdx∫1sin4⁡xcos4⁡xdx\int \frac{1}{\sin^4 x \cos^4 x}\,dx?
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