¿Dónde estoy equivocado? ¿Por qué mi respuesta es diferente a la del libro?

Question

¿Dónde estoy equivocado? ¿Por qué mi respuesta es diferente a la del libro?

Yogesh Tripathi

La cuestión es integrar

\int X {porque}^{- 1} X d X

$\int x\cos^{-1}x dx$

Respuesta en mi libro

(2 X^{2} - 1) \frac{{porque}^{- 1} X}{4} - \frac{X}{4} \sqrt{1 - X^{2}} + C

$(2x^2-1)\frac{\cos^{-1}x}{4}-\frac{x}{4}\sqrt{1-x^2}+C$

Estoy aprendiendo cálculo de una sola variable en este momento y actualmente sobre integración con parte. Estoy confundido en un problema de algún tiempo. No se donde me equivoque. Por favor, eche un vistazo a las imágenes.

Solución. $\newcommand{\dd}{\; \mathrm{d}}$
$\begin{aligned} {porque}^{- 1} X \int X d X - \int [\frac{- 1}{\sqrt{1 - X^{2}}} \cdot \frac{X^{2}}{2}] d X = \\ = & {porque}^{- 1} X \cdot \frac{X^{2}}{2} + \int \frac{X^{2}}{2 \sqrt{1 - X^{2}}} d X 2 = \\ = & \frac{X^{2}}{2} \cdot {porque}^{- 1} X + \frac{1}{2} \int \frac{X}{\sqrt{1 - X^{2}}} d X = | \begin{matrix} X = pecado t \\ d X = porque t d t \end{matrix} | = \\ = & \frac{X^{2} {porque}^{- 1} X}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{{pecado}^{2} t porque t}{\sqrt{1 - {pecado}^{2} t}} d t = \\ = & \frac{X^{2} {porque}^{- 1} X}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{{pecado}^{2} t porque t}{porque t} d t = \\ = & \frac{X^{2} {porque}^{- 1} X}{2} + \frac{1}{2} \int {pecado}^{2} t d t = \\ = & \frac{X^{2} {porque}^{- 1} X}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{1 - porque 2 t}{2} d t = \\ = & \frac{X^{2} {porque}^{- 1} X}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{2} d t - \frac{1}{4} \int porque 2 t d t = \\ = & \frac{X^{2} {porque}^{- 1} X}{2} + \frac{1}{4} t - \frac{1}{8} pecado 2 t + C = \\ = & \frac{X^{2} {porque}^{- 1} X}{2} + \frac{1}{4} {pecado}^{- 1} X - \frac{1}{8} pecado 2 {pecado}^{- 1} X + C = \\ = & \frac{X^{2} {porque}^{- 1} X}{2} + \frac{1}{4} {pecado}^{- 1} X - \frac{1}{8} pecado (2 {pecado}^{- 1} X) + C \end{aligned}$ $\begin{align} &\cos^{-1} x \int x \dd x - \int \left[\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot\frac{x^2}2\right] \dd x=\\ =&\cos^{-1}x \cdot \frac{x^2}2 + \int \frac{x^2}{2\sqrt{1-x^2}} \dd x2=\\ =&\frac{x^2}2 \cdot \cos^{-1}x + \frac12 \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \dd x = \begin{vmatrix}x=\sin t\\ \dd x=\cos t\dd t\end{vmatrix} = \\ =&\frac{x^2\cos^{-1}x}2 + \frac12 \int \frac{\sin^2t \cos t}{\sqrt{1-\sin^2t}} \dd t =\\ =&\frac{x^2\cos^{-1}x}2 + \frac12 \int \frac{\sin^2t \cos t}{\cos t} \dd t =\\ =&\frac{x^2\cos^{-1}x}2 + \frac12 \int \sin^2t \dd t =\\ =&\frac{x^2\cos^{-1}x}2 + \frac12 \int \frac{1-\cos2t}2 \dd t =\\ =&\frac{x^2\cos^{-1}x}2 + \frac12 \int \frac12 \dd t -\frac 14 \int \cos2t \dd t =\\ =&\frac{x^2\cos^{-1}x}2 + \frac14 t - \frac18 \sin 2t + C =\\ =&\frac{x^2\cos^{-1}x}2 + \frac14 \sin^{-1}x - \frac18 \sin2\sin^{-1}x + C =\\ =&\frac{x^2\cos^{-1}x}2 + \frac14 \sin^{-1}x - \frac18 \sin(2\sin^{-1}x) + C \end{align}$

Por favor ayuda. Gracias de antemano.

Imranfat

Honestamente, no miré tu trabajo. Se acerca mi clase. Solo te estoy dando una sugerencia. hacer un u-sub

a r c c o s x = t

$arccosx=t$ La integral entonces se vuelve de la forma

c o s t * s i n t * t

$cost*sint*t$ que a través de la fórmula del doble ángulo se vuelve de la forma

t * s i n 2 t

$t*sin2t$ La integración por partes en esta integral es mucho más fácil que trabajar con arccos...

Hans Lundmark

¿ Estás seguro de que tu respuesta es realmente diferente de la respuesta del libro? (¡Intente trazar la diferencia con WolframAlpha, por ejemplo!)

nikos m.

mejor hacer un cambio de variables primero como

θ = c o s^{- 1} x

$\theta = cos^{-1}x$

Martín Sleziak

He intentado transcribir las matemáticas de tu imagen. Por favor, compruebe si no he cambiado algo por error. (Tuve dificultades para leer su escritura a mano en algunos lugares). Tenerlo en forma de texto en lugar de una imagen también lo hace más fácil para usted si necesita editar algo. Para obtener información básica sobre cómo escribir matemáticas en este sitio, consulte, por ejemplo , aquí , aquí , aquí y aquí .

Respuestas (2)

¿Dónde estoy equivocado? ¿Por qué mi respuesta es diferente a la del libro?

Honestamente, no miré tu trabajo. Se acerca mi clase. Solo te estoy dando una sugerencia. hacer un u-sub $arccosx=t$ La integral entonces se vuelve de la forma $cost*sint*t$ que a través de la fórmula del doble ángulo se vuelve de la forma $t*sin2t$ La integración por partes en esta integral es mucho más fácil que trabajar con arccos...
¿ Estás seguro de que tu respuesta es realmente diferente de la respuesta del libro? (¡Intente trazar la diferencia con WolframAlpha, por ejemplo!)
mejor hacer un cambio de variables primero como $\theta = cos^{-1}x$
He intentado transcribir las matemáticas de tu imagen. Por favor, compruebe si no he cambiado algo por error. (Tuve dificultades para leer su escritura a mano en algunos lugares). Tenerlo en forma de texto en lugar de una imagen también lo hace más fácil para usted si necesita editar algo. Para obtener información básica sobre cómo escribir matemáticas en este sitio, consulte, por ejemplo , aquí , aquí , aquí y aquí .

Bernardo · Answer 1

Su respuesta no es falsa, pero no simplificó completamente.

Por eso ambas respuestas son iguales:

$\arcsin x+\arccos x=\dfrac\pi2$
$\sin(2\arcsin x)=2\sin(\arcsin x)\cos(\arcsin x)=2x\sqrt{1-x^2}.$

usuario190080 · Answer 2

Con la ayuda de la respuesta de Bernard, puede transformar aún más su término

\begin{aligned} \int X {porque}^{- 1} (X) d X & = \frac{X^{2} {porque}^{- 1} X}{2} + \frac{1}{4} {pecado}^{- 1} X - \frac{1}{8} pecado (2 {pecado}^{- 1} X) \\ = \frac{X^{2} {porque}^{- 1} X}{2} + \frac{1}{4} {pecado}^{- 1} X - \frac{1}{4} X \sqrt{1 - X^{2}} + C pero esto no es igual \\ \neq (2 X^{2} - 1) \frac{{porque}^{- 1} X}{4} - \frac{X}{4} \sqrt{1 - X^{2}} + C \\ = \frac{X^{2} {porque}^{- 1} X}{2} - \frac{1}{4} {porque}^{- 1} X - \frac{1}{4} X \sqrt{1 - X^{2}} + C \end{aligned}

$\begin{align} \int x \cos^{-1}(x)dx&=\frac{x^2\cos^{-1}x}2 + \frac14 \sin^{-1}x - \frac18 \sin(2\sin^{-1}x)\\ &=\frac{x^2\cos^{-1}x}2 + \frac14 \sin^{-1}x - \frac 14 x\sqrt{1-x^2}+c \ \text{ but this does not equal}\\ &\neq (2x^2-1)\frac{\cos^{-1}x}{4}-\frac{x}{4}\sqrt{1-x^2}+c \\&=\frac{x^2\cos^{-1}x}2 - \frac14 \cos^{-1}x - \frac 14 x\sqrt{1-x^2}+c \end{align}$

entonces, además del hecho de que puede simplificar aún más su respuesta, la respuesta dada en el libro es incorrecta .

¿Dónde estoy equivocado? ¿Por qué mi respuesta es diferente a la del libro?

Yogesh Tripathi

Imranfat

Hans Lundmark

nikos m.

Martín Sleziak

Respuestas (2)

Bernardo

usuario190080

Integra ∫dxsin3xsin(x+α)√∫dxsin3⁡xsin⁡(x+α)\int \frac{dx}{\sqrt{\sin^3x\sin(x+\alpha)}}

¿Hay restricciones que he olvidado para Integración por sustitución trigonométrica o estoy cometiendo algún otro error?

¿Cómo resolver ∫dx4−x2√∫dx4−x2\int\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} con sustitución trigonométrica?

Evaluando ∫π20sinx√sinx√+cosx√dx∫0π2sin⁡xsin⁡x+cos⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{\sin x}}{\ sqrt{\sen x}+\sqrt{\cos x}}\, \mathrm{d}x

Integre ∫sinxcosxsin4x+cos4xdx∫sin⁡xcos⁡xsin4⁡x+cos4⁡xdx\int \frac{\sin x \cos x}{\sin^4x + \cos^4x} \,dx

¿En qué me equivoqué al resolver ∫x2−1√x4dx∫x2−1x4dx\int\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}dx?

Evaluar ∫sin3(θ/2)cos(θ/2)cos3θ+cos2θ+cosθ√dθ∫sin3⁡(θ/2)cos⁡(θ/2)cos3⁡θ+cos2⁡θ+cos⁡θdθ\int \ frac{\sin ^3(\theta/2)}{\cos(\theta/2)\sqrt{\cos^3\theta+\cos^2\theta+\cos \theta}}d\theta

¿Es este un método válido para ∫1x4+1dx∫1x4+1dx\int \frac {1}{x^4 +1} dx

Integral trigonométrica ∫π/40dxcos4x−cos2xsin2x+sin4x∫0π/4dxcos4⁡x−cos2⁡xsin2⁡x+sin4⁡x\int _0^{\pi/4}\:\frac{dx}{\cos^4x-\ cos^2x\sen^2x+\sen^4x}

Se agregó una fórmula de ángulo para resolver esta integral indefinida ∫2cosx−sinx3sinx+5cosxdx∫2cos⁡x−sin⁡x3sin⁡x+5cos⁡xdx\int\frac{2\cos x-\sin x}{3\sin x+5\ cos x }\,dx