¿Por qué no se puede escribir la relatividad general en términos de variables físicas?

Wigner siempre se quejaba de las personas que usaban la palabra "invariante" (esto era, por supuesto, en el contexto de la Relatividad Especial): dijo que uno debería decir que el principio de la relatividad requiere "covarianza", no invariancia. Los propios artículos de Einstein sobre GR tienden a llevar a cabo la solicitud de Wigner: la teoría de GR (que es más general que la teoría de la gravedad de Einstein o sus ecuaciones de campo) siempre se expresa como la demanda de covarianza con respecto a cambios de coordenadas arbitrarios. Ahora bien, otro mito, según yo, es que la relatividad exige que las leyes sean transformadas por el grupo en otras leyes «de la misma forma». Esto es solo palabrería hasta que definas lo que quieres decir con "forma" y, lo que es peor, sería solo lingüística en lugar de física. Examinando la práctica de Einstein en este asunto, y sus ocasionales pronunciamientos explícitos, GR realmente dice: las leyes de la física deben tomar la forma de equiparar un tensor a cero. Esto funciona porque el tensor tiene las mismas propiedades de covarianza bajo cambio de coordenadas que el cero.

Por lo tanto, el requisito de covarianza no tiene nada que ver con$f^* g$por$f$un difeomorfismo y$g$un campo tensorial. Esto se puede ver de otra manera: para Einstein,$M$no es físico, es$g$eso es fisico Por eso$f$tiene que ser considerado como un cambio de coordenadas que en realidad no mueve los puntos matemáticos de$M$. La fórmula que usan los matemáticos para$f^*g$tiene que ser reinterpretado como proveniente de$f$como la función de transición entre dos gráficos de$M$alrededor de un punto dado$x$, es decir, qua difeomeorfismo, es la identidad. Permítanme decirlo de otra manera: un cambio de coordenadas no mueve los puntos, solo cambia los gráficos. Por lo tanto, un cambio de coordenadas es el mapa de identidad trivial cuando lo miras en las definiciones invariantes y libres de coordenadas de los matemáticos de$M$,$f$,$f^*$y tensores.

Y ahora permítanme poner esto de una tercera manera, vinculándolo con el punto de vista de Wigner en la Relatividad Especial: lo que GR requiere es que$g_{\mu\nu}$ser covariante, y en su configuración, este es el requisito para$f^* g$incluso estar bien definido . Esto es lo que se necesita para definir una acción de grupo de diff($M$) sobre el conjunto de tensores métricos, y es la analogía estricta al de Wigner que exige que se trabaje con una representación del grupo de Lorentz. La covarianza significa que la acción del grupo está definida, no que sea trival.

Esa es una de las razones por las que diff($M$) no es una buena analogía con las transformaciones de calibre de EM o la teoría de Weyl. Pero hay otra: en EM, la relación entre el potencial y el campo es una cosa, pero la relación entre$g_{\mu\nu}$y los símbolos de Christoffel (la conexión afín) es otra muy distinta. Sí, matemáticamente las dos relaciones tienen algo similar pero desde el punto de vista de las simetrías involucradas hay una diferencia crucial: el campo métrico es covariante (un tensor) pero los símbolos de Christoffel no lo son, mientras que en EM, los campos se transforman bien bajo el Lorentz grupo también. Por lo tanto, según la filosofía de GR, el campo tensorial métrico debe considerarse más físico que los símbolos de Christoffel, aunque todos, y también Einstein, llaman a la métrica el «potencial gravitatorio» y a los símbolos de Christoffel el «campo gravitatorio». Esta analogía sugerida no debe tomarse demasiado en serio y, de hecho, el propio Einstein oscila constantemente entre esta terminología y la aparentemente contradictoria denominación del campo tensorial métrico «el campo gravitacional».

Y hay otro: en EM solo podemos medir diferencias en potenciales, por supuesto, por eso introducimos una selección de calibre y transformaciones de calibre. pero ( ritmopositivistas extremos), podemos en principio medir el tensor métrico usando rayos de luz y relojes y varillas viajeras, como explican Weyl y Einstein. (Por supuesto, solo porque este es un mundo clásico ideal, por lo que podemos hacer que las masas sean insignificantes ...). ¡Las ecuaciones de Einstein son irrelevantes! Así como, en la discusión de qué es una elección de calibre y qué es una transformación de calibre en EM, ¡las ecuaciones de Maxwell eran irrelevantes! Es decir, la definición o concepto de calibre y transformación de calibre tiene sentido, y uno puede pensar en su fisicalidad y conveniencia, incluso sin considerar las ecuaciones de Maxwell. Y siguiendo ese camino, uno podría primero decidir, sobre bases físicas, cuáles eran las transformaciones de calibre, y luego buscar la Ley de la Naturaleza que era invariante de calibre en ese sentido.

Pero los símbolos de Christoffel, aunque obviamente pueden medirse en cierto sentido ya que pueden calcularse a partir de la métrica, no son físicos porque no son covariantes. Demasiada discusión sobre lo que significa "físico" sería filosófica, pero en lo único en lo que realmente quiero insistir es en que para GR, si algo ni siquiera es covariante, entonces no es objetivo ni "real", por lo que esto destruye la analogía con los indicadores. en EM por sí mismo.

Habiendo eliminado ahora diff($M$), afirmo brevemente lo que ya todos saben: para toda variedad riemanniana o lorentziana existe una norma que hace del campo métrico un tensor, esto lo explica Weyl en su libro, excepto que lo llama calibración. Eso responde a tu pregunta sobre GR clásico.

EDITAR para el comentario del OP.

El principio de la relatividad general es que no existe una forma natural de distinguir entre un conjunto de coordenadas y otro. Ese es el objetivo de GR, su filosofía, por así decirlo. No existe un criterio físico para decir que un sistema de coordenadas es mejor que otro.

Tal vez ya lo sabía, así que consideremos opciones que no tienen motivación o significado físico pero que se ven bonitas. Por ejemplo, coordenadas geodésicas. Para cualquier$M$y cualquier punto dado$p$puede definir coordenadas locales en un pequeño vecindario de$x$en$M$que son geodésicos en el sentido de que describen muy bien el transporte paralelo a lo largo de los ejes de coordenadas. Pero no tienen un significado global, no hacen nada por toda la papa, solo por un punto.$x$, porque tan pronto como transportas en paralelo algo a una distancia finita de$x$, lo que obtienes depende del camino que tomaste para llegar allí. Tienen un significado «local», no un significado «global», y la razón por la que existe una diferencia entre local y global es el hecho geométrico de la no integrabilidad, que es inherente a la geometría curva de$M$. Sólo si$M$es plano es la situación «integrable». De hecho, esta es la definición de curvatura . La curvatura se define como la desviación de la integrabilidad de este transporte paralelo que realiza en un sistema de coordenadas geodésicas.

Entonces, la respuesta a su pregunta es: no hay un sistema de coordenadas grande con buenas propiedades, a menos que$M$es plano.

Verá, la pregunta fue confusa entre elegir un calibre y elegir un sistema de coordenadas, estas no son las mismas cosas. Si se aclara esta confusión, se obtienen dos respuestas diferentes: Si$M$es pseudo-Riemannian, sí, existe una opción de calibre, lo que significa que la métrica puede representarse mediante un tensor, no un tensor retorcido. Pero no, no existe ninguna prescripción para las coordenadas que tienen buenas propiedades en general a menos que$M$es plano.

Reformulemos la pregunta de OP (v1) de la siguiente manera.

¿Puede la relatividad general en$d$las dimensiones del espacio-tiempo a granel se escriben en términos de variables físicas/de propagación solamente?

Lo mejor que se puede hacer parece ser lo siguiente. Para campos gravitatorios débiles, se puede escribir la métrica curva

como suma de un fondo plano de Minkowski$\eta_{\mu\nu}$y una parte de fluctuación$h_{\mu\nu}$, que es simétrico y por lo tanto contiene$\frac{d(d+1)}{2}$componentes independientes.

Ahora use coordenadas de cono de luz para la métrica plana$\eta_{\mu\nu}$. La parte de la fluctuación$h_{\mu\nu}$luego se divide en$2d$variables auxiliares no físicas (que se pueden eliminar), y$\frac{d(d-3)}{2}$variables físicas (=la parte transversal sin rastro).

Referencia:

Barton Zwiebach, Un primer curso de Teoría de Cuerdas, Sección 10.6.

Si la noción de ser físico es invariancia de calibre, entonces el escalar de Ricci en la acción de Einstein-Hilbert es una variable "física", en el mismo sentido que$F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$~$(|E|^2-|B|^2)$y$F_{\mu \nu} \tilde{F}^{\mu \nu}$~$(E \cdot B)$son las cantidades invariantes de calibre fundamentales en las teorías puras de Yang-Mills. Pero las ecuaciones de campo de Einstein no se construyen a partir de un invariante de la misma manera que las ecuaciones de campo de Yang-Mills no se construyen a partir de sus invariantes. Sin embargo, estas ecuaciones de campo permanecen sin cambios bajo transformaciones de calibre de los campos, porque la contribución adicional es un término derivado total en el Lagrangiano (a menos que la variedad tenga un límite, en cuyo caso se debe agregar un término de Gibbons-Hawking al Lagrangiano para absorber la contribución extra)

Tenga en cuenta que$E$y$B$los campos en sí mismos no son de calibre invariante como parece sugerir su pregunta.

No estoy seguro de si la curvatura de Ricci es la única invariante fundamental de las variedades de Riemann. ¿Es Yamabe invariante fundamental? Sería bueno si alguien pudiera publicar una lista de invariantes (fundamentales y derivados).