Definición rigurosa de la variación.

Se puede dar una definición por generalización directa de la de la pregunta. Toma el espacio de los campos para que sea el espacio$C^\infty(X, M)$de funciones suaves entre dos variedades. Para cualquier suave funcional$S:C^\infty(X, M)\to\mathbb{R}$y cualquier familia de campos de un parámetro$h:\mathbb{R}\times X\to M$podemos definir una función$f_{S,h}\in C^\infty(\mathbb{R})$por$f_{S,h}(t) = S(h_t)$. La variación$\delta S$es el diferencial$df_{S,h}$de este mapa.

En el caso de la mecánica, solo estamos especializando esta definición para$X=[a,b]$. En la relatividad general,$X$es el espaciotiempo.$R_{\mu\nu}$debe verse en este contexto como una función sobre la variedad que asigna a cualquier punto$x\in X$un funcional$R_{\mu\nu}(x)$de la métrica.

El usuario coco fue más rápido (y más corto), por lo que la respuesta puede tener como objetivo ampliar un poco los aspectos técnicos del cálculo de variaciones para la teoría de campos clásica (local).

Un libro de física que hace un trabajo bastante bueno al definir la variación de un funcional de acción para la teoría de campos es General Relativity de Robert M. Wald (University of Chicago Press, 1984) - ver Apéndice E, pp. 450ff. Sin embargo, dado que todavía deja de lado algunos detalles técnicos, describiré el procedimiento a continuación.

La idea es esencialmente la misma que escribiste para la mecánica clásica. Uno entiende las configuraciones de campo (entre estas, la métrica de espacio-tiempo$g$) como secciones suaves

$$\phi\in\Gamma^\infty(\pi):=\{\phi\in\mathscr{C}^\infty(M,E)\ |\ \pi\circ\phi=\mathrm{id}_M\}$$ de algún haz de fibras $\pi:E\rightarrow M$sobre la variedad espacio-tiempo $M$. Las variaciones de campo (finitas) son solo mapas suaves $\Phi:M\times I\rightarrow E$, dónde $I\subset\mathbb{R}$es un intervalo abierto tal que $$\phi_s:=\Phi(\cdot,s)\in\Gamma^\infty(\pi)$$ para todos $s\in I$. Esto último significa que $\phi_s(p)=\Phi(p,s)\in\pi^{-1}(p)$para todos $p\in M$, $s\in I$- particularmente, si (digamos) $0\in I$y $\phi_0=\phi$, entonces una variación de campo infinitesimal alrededor $\phi$se daría en cada $p\in M$por $\delta\phi(p)=\left.\dfrac{\partial\Phi(p,s)}{\partial s}\right|_{s=0}$. Resulta que $\delta\phi$puede verse como una sección suave del retroceso $$\phi^*VE:=\{(p,X)\in M\times VE\ |\ \phi(p)=\pi_{TE}(X)\}$$ del haz vertical $$\pi_{TE}:VE:=\{X\in TE\ |\ T\pi(X)=0_{TM}\}\rightarrow E$$ bajo $\phi$, que puede verse como un "vector tangente" a $\Gamma^\infty(\pi)$en $\phi$. Por el contrario, si pones una métrica riemanniana (completa) en las fibras de $E$, puede usar el mapa exponencial asociado a ellos para construir una variación de campo a partir de una infinitesimal.

Esta es mas o menos la imagen de$\Gamma^\infty(\pi)$como una variedad de dimensión infinita (hay algunas advertencias que se analizan brevemente en el apéndice técnico al final de esta respuesta, pero no tienen ninguna consecuencia en lo que sigue).

Para pasar de ahí a las variaciones de acción, primero es necesario delinear qué es una función de acción. Recuerde que un funcional en$\Gamma^\infty(\pi)$es solo un mapa$F:\Gamma^\infty(\pi)\rightarrow\mathbb{C}$. Resulta que una acción no es un solo funcional, sino una familia de funcionales$\{S_K\ |K\subset M\text{ compact}\}$tal que$S_K(\phi_1)=S_K(\phi_2)$para todos$\phi_1,\phi_2\in\Gamma^\infty(\pi)$tal que$\phi_1=\phi_2$en$K$. El punto aquí es dar cuenta de la posibilidad (más frecuente) de que la densidad lagrangiana evaluada en$\phi$no es integrable en su totalidad$M$. Si se requiere además que cada$S_K$es local y depende de las derivadas de$\phi$a la orden (decir)$r$(en un sentido preciso que no definiré aquí), se sigue que

$$S_K(\phi)=\int_K L(p,\phi(p),\nabla\phi(p),\ldots,\nabla^r\phi(p))\mathrm{d}^n x\ ,$$ donde la densidad lagrangiana $L$es suave en sus argumentos (también requerimos que $L$no depende de $K$, por supuesto, esto se puede codificar en condiciones de compatibilidad entre los $S_K$'s, cuyos detalles son irrelevantes para nosotros aquí).

Estoy siendo deliberadamente suelto en la definición de derivados (de primer orden y de orden superior)$\nabla^k\phi$de tramos lisos$\phi$de$\pi$(que codifican, en el caso de$\phi=g$, la curvatura de$g$y así sucesivamente) ya que esto requiere la noción de haces de chorro de$\pi$, que es un poco largo y nos desviará de nuestro objetivo principal aquí (puedo agregar algunos detalles sobre esto más adelante si lo considera necesario). Una vez que todo esto ha sido establecido, la variación (finita) de$S_K$correspondiente a$\Phi$es solo$S_K(\phi_s)$, y la variación infinitesimal correspondiente es simplemente

$$\delta S_K(\phi)=\left.\dfrac{d}{ds}\right|_{s=0}S_K(\phi_s)\ .$$ En este punto, esto se convierte en una simple diferenciación estándar bajo el signo integral, lo cual está perfectamente permitido bajo los requisitos anteriores.

Un paso clave en la informática$\delta S_K(\phi)$es mostrar que los derivados de fibra y base conmutan , es decir

$$\dfrac{\partial\nabla^k\Phi(p,s)}{\partial s}=\nabla^k \dfrac{\partial\Phi(p,s)}{\partial s}\ ,$$ de modo que $\nabla^k(\delta\phi)=\delta(\nabla^k\phi)$, para todos $k\leq r$. De esta forma, se obtienen los términos de divergencia habituales que aparecen en los tratamientos estándar del cálculo de variaciones. Para deshacerse de ellos (al derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange, por ejemplo), se puede suponer que las variaciones de campo infinitesimales se soportan en el interior de $K$(consulte el apéndice técnico a continuación para obtener más información al respecto) cuando sea necesario.

Es importante notar que el principio variacional expuesto anteriormente es inherentemente local , por lo que las consideraciones anteriores son en realidad independientes de$K$.

( Apéndice técnico: si desea tener algún tipo de estructura múltiple suave en$\Gamma^\infty(\pi)$, debe especificar qué espacio(s) vectorial(es) del modelo está empleando. Resulta que necesitas usar

$$\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M):=\{X_\phi\in\Gamma^\infty(\phi^*VE\rightarrow M)\ |\ X_\phi\text{ has compact support}\}$$ como modelos, de lo contrario la topología resultante de $\Gamma^\infty(\pi)$(utilizando los mapas exponenciales mencionados en el segundo párrafo anterior para construir un atlas) no se garantiza que esté conectado localmente en la ruta (esto puede fallar si $M$no es compacto), por lo tanto, no es una topología múltiple. Esto implica que se deben restringir las variaciones de campo $\Phi$ser tal que para cada subintervalo compacto (= cerrado y acotado) $J\subset I$hay un subconjunto compacto $K\subset M$tal que $\Phi(p,s)$es constante en $(M\smallsetminus K)\times J$. La razón es que con el atlas antes mencionado, estas variaciones de campo se convierten precisamente en las suaves curvas de $\Gamma^\infty(\pi)$, y por lo tanto $\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M)=T_\phi\Gamma^\infty(\pi)$se convierte en el espacio tangente (sin comillas) a $\Gamma^\infty(\pi)$en $\phi$. Curiosamente, estas son precisamente el tipo de variaciones de campo necesarias para derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange, lo que otorga un peso adicional a su importancia que va más allá del mero requisito estético de coherencia con una estructura múltiple en $\Gamma^\infty(\pi)$. Otro detalle técnico es que si utiliza la topología de espacio vectorial localmente convexa estándar (límite inductivo) de $\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M)$para inducir la topología de $\Gamma^\infty(\pi)$a través del atlas anterior, se obtiene una estructura múltiple topológica (que, por cierto, es la llamada topología de Whitney en $\Gamma^\infty(\pi)$) pero no suave . Para este último, debe usar la topología final inducida por las curvas suaves $$\Xi:\mathbb{R}\rightarrow\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M)$$ en $\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M)$, que es más fina que la estándar. Las suaves curvas $\Xi$en $\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M)$, a su vez, son mapas suaves $\Xi:M\times I\rightarrow E$, dónde $I\subset\mathbb{R}$es un intervalo abierto tal que $$X_s:=\Xi(\cdot,s)\in\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M)$$ para todos $s\in I$tal que para cada subintervalo compacto $J\subset I$hay un subconjunto compacto $K\subset M$tal que el apoyo de $X_s$está contenido en $K$para todos $s\in J$. (recuérdese que el apoyo de una sección $X$de un paquete de vectores sobre $M$es el subconjunto cerrado más pequeño $\mathrm{supp}\,X$de $M$tal que $X$es igual a la sección cero exterior $\mathrm{supp}\,X$) Para (muchos) más detalles sobre el procedimiento descrito aquí, consulte el libro de Andreas Kriegl y Peter W. Michor, The Convenient Setting of Global Analysis (AMS, 1997))