¿Cuál es la forma más natural de alcanzar la gravedad como medida del grupo de Lorentz?

Sé que esto probablemente no aborde toda la pregunta, pero, sin embargo, pensé que podría serle útil.

Según tengo entendido, le gustaría explorar la posibilidad de unificar el marco$e$con la conexión de espín$\omega$. Ciertamente ha habido intentos de hacer eso.

Descargo de responsabilidad: todo en esta respuesta es especulativo y no confirmado por experimento. Estamos hablando de enfoques teóricamente posibles para la unificación.

Introducción: gravedad Palatini/Holst

Primero, considere la formulación tradicional de conexión de marco de GR dada por Palatini:

$$S_{\text{Palatini}} [e, \omega] = \frac{1}{2 \kappa} \varepsilon_{IJKL} \int e^{I} \wedge e^{J} \wedge F^{KL},$$

dónde$e^I = e^I_{\mu} dx^{\mu}$es el marco de 1 forma y$\omega^{IJ} = \omega^{IJ}_{\mu} dx^{\mu}$es la conexión de espín valorada por el álgebra de Lorentz y$F^{IJ} = d\omega^{IJ} + \omega^{IK} \wedge \omega_K^{\;J}$es su curvatura.

Esta acción da la condición de compatibilidad.$De=0$cuando vario wrt$\omega$($D$es la derivada covariante del álgebra de Lorentz) y las ecuaciones de Einstein para$g_{\mu \nu} = e_{\mu}^I e_{\nu}^J \eta_{IJ}$sobre variación wrt$e$.

Esto se puede modificar mediante un término topológico de Holst de la siguiente manera:

$$S_{\text{Holst}} [e, \omega] = \frac{1}{2 \kappa} \int e^{I} \wedge e^{J} \wedge \left( \varepsilon_{IJKL} F^{KL} + \frac{1}{\gamma} F_{IJ} \right).$$

Las ecuaciones clásicas de movimiento son independientes de$\gamma$. Sin embargo para$0\lt \gamma \lt \infty$esta teoría se puede cuantificar consistentemente con la ayuda del formalismo de la red de espín para dar la gravedad cuántica de bucles.

Gravedad MacDowell-Mansouri

MacDowell&Mansouri lograron empacar el cuadro$e$y la conexión de espín$\omega$juntos como partes del single$\mathfrak{so}(4,1)$-conexión valorada$A$. O, para la constante cosmológica negativa (que no se ve favorecida físicamente), la conexión es$\mathfrak{so}(3,2)$-valorado.

Echa un vistazo a esta reseña .

Lápida de la unificación de la gravedad de calibre: el teorema de Coleman-Mandula

Este es un teorema de no-go que establece que cualquier teoría cuántica de campo con una brecha de masa y con matriz S analítica no puede contener el grupo de Poincaré y el grupo de calibre combinados de una manera que no sea trivial.

Por lo tanto, no puede unificar la gravedad con las interacciones de calibre en ningún grupo de Lie no trivial.

Este teorema sirve como una de las muchas justificaciones de la búsqueda de supersimetría, ya que no se cumple en el caso de álgebras de Lie supersimétricas.

Pero hay trampas. En primer lugar, las QFT pueden ser válidas solo hasta una determinada escala de energía (presumiblemente, la escala de ruptura de la simetría del difeomorfismo, en la que la gravedad se separa de otras interacciones). En segundo lugar, si estamos en el espacio de De'Sitter con constante cosmológica positiva, el teorema ya no se cumple.

La conexión Clifford de Lisi y$E8$

Garret Lisi ha presentado un enfoque diferente para unificar la conexión entre el marco y el espín en este documento . La idea es considerar una sola$Cl(3,1)$-conexión valorada e interpretación$e$y$\omega$como partes de grado 1 y grado 2 de esta conexión.

También interpreta los fermiones físicos como fantasmas de BRST que surgen después de fijar el calibre.

Más tarde, en su famoso artículo , intenta unificarlos con los grupos de calibre del modelo estándar como partes del$E8$grupo calibre.

Personalmente, no entiendo cómo la dinámica de la$E8$la teoría funciona. Me parece que la acción para la modelo ni siquiera es$E8$-invariante.

No necesita QFT para medir el grupo de Lorentz y obtener GR (o su generalización natural: la teoría de Einstein-Cartan) de SR.

Para definir el grupo de Lorentz, necesita un marco de referencia local (es decir, el vieilbein o tétrada ), representado por cuatro vectores ortogonales de 4$\boldsymbol{e}_a$y sus cuatro covectores duales$\boldsymbol{e}^a$($\equiv \boldsymbol{e}^{* a}$), que debe satisfacer las siguientes relaciones, como en la relatividad especial ($\circ$es el producto escalar de 4-vectores y duales):

$$\begin{align}\tag{1} \boldsymbol{e}_a \circ \boldsymbol{e}_b &= \eta_{ab}, &\boldsymbol{e}^a \circ \boldsymbol{e}^b &= \eta^{ab}, &\boldsymbol{e}_a \circ \boldsymbol{e}^b &= \delta_a^b. \end{align}$$ Bajo cualquier transformación pasiva de Lorentz, el marco cambia: $$\begin{equation}\tag{2} \tilde{\boldsymbol{e}}^a = {\Lambda_b}^a \, \boldsymbol{e}^b, \end{equation}$$ dónde${\Lambda_b}^a$son elementos de matriz constante, como en la relatividad especial. Medir ese grupo implica que estos elementos se vuelven dependientes de la posición. Luego debe cambiar las derivadas parciales de los "tensores planos" a alguna derivada covariante bajo la transformación local de Lorentz. Esto implica que tendrás que introducir una conexión (la conexión de giro ).

Nótese que es falso decir que las coordenadas$x^a$definir un 4-vector en relatividad especial. Incluso en SR, son solo coordenadas (e incluso puede usar coordenadas curvilíneas$x^{\mu}$en SR, como coordenadas esféricas, etc., y no solo coordenadas cartesianas$x^a$). Es la tétrada ortogonal la que debe usarse, o las coordenadas cartesianas infinitesimales cambian:

$$\begin{equation}\tag{3} d\tilde{x}^a = {\Lambda^a}_b(x) \, dx^b. \end{equation}$$ Aquí, lo "infinitesimal"$dx^a$es en realidad una representación de la base dual:$dx^a \equiv \boldsymbol{e}^a$.

¡El resto (conexión, curvatura, ...) se vuelve bastante complicado muy rápido!

Para más detalles sobre todo esto, deberías leer el libro de Weinberg sobre GR.

Si desea escribir una acción de gravedad a la Yang-Mills (tenga en cuenta que no hay doble Hodge$*$):

$$S \sim \int F\wedge F,$$ tienes que extender el grupo local de Lorentz al (anti) grupo De Sitter (cf. MacDowell-Mansouri), que combina vielbein/tetrad one-form$e$y la conexión de Lorentz (también conocida como conexión de espín) de una forma$\omega$en una conexión unificada una forma de (anti) grupo de calibre De Sitter $$A = e + \omega.$$ Y la curvatura de dos formas$F$correspondiente al grupo de calibre (anti) De Sitter sigue la misma definición de Yang-Mills (para abreviar, los índices de Lorentz no se muestran aquí y se suponen productos exteriores entre formas diferenciales): $$F = dA + A^2 = (d\omega + \omega^2) + (de + e\omega + \omega e) + e^2$$ dónde$(d\omega + \omega^2)$es el tensor de curvatura de conexión de espín (Riemann),$(de + e\omega + \omega e)$es tensor de torsión.

Sin embargo, la versión de la gravedad de MacDowell-Mansouri tiene varios inconvenientes:

1. En primer lugar, el (anti) grupo de De Sitter debe romperse para llegar a la simetría local de Lorentz restante intacta. El mecanismo de ruptura de la simetría (anti) De Sitter se pone a mano en el artículo original de MacDowell-Mansouri. Otros artículos de seguimiento del mecanismo de ruptura de simetría espontáneo son más bien ad hoc.
2. La conexión (anti) De Sitter (específicamente la porción vielbein/tétrada) acopla fermiones zurdos con fermiones diestros. Significa problemas para los fermiones quirales del modelo estándar.
3. El lagrangiano de norma de la versión de la gravedad de MacDowell-Mansouri implicaría una constante cosmológica$e^4$que es del orden de la escala de Planck, que también es problemática.
4. Para permitir una versión supersimétrica de la gravedad de MacDowell-Mansouri, uno tiene que aprovechar un isomorfismo accidental entre anti-de Sitter$\mathfrak{so}(2,3)$y$\mathfrak{sp}(4,\mathbb{R})$. Por lo tanto, la saga de la supergravedad/supercuerda se limita a AdS con una constante cosmológica negativa y se enfrenta a la situación de la "tierra pantanosa".