Cálculo del tensor de Riemann mediante el formalismo de tétrada

Estaba tratando de calcular el tensor de Riemann para una métrica esféricamente simétrica:

$ds^2=e^{2a(r)}dt^2-[e^{2b(r)}dr^2+r^2d\Omega^2]$

Elegí usar la base de tétrada:

$u^t=e^{a(r)}dt;\, u^r=e^{b(r)}dr;\, u^\phi=r\sin\theta d\phi; \, u^\theta=rd\theta$

Uso de la condición libre de torsión con la conexión de espín$\omega^a{}_{b}\wedge u^b=-du^a$Pude encontrar las conexiones de espín distintas de cero.

En clase mi profesor presentó la fórmula:

$\Omega^i{}_{j}=d\omega^i{}_j+\omega^i{}_k\wedge \omega^k{}_j=\frac{1}{2}R^i{}_j{}_k{}_l\,u^k\wedge u^l$

Pero esto no puede ser correcto ya que calculo con esto:

$\Omega^t{}_\phi=-\frac{1}{r}a_r \,e^{-2b}u^t\wedge u^\phi \implies R^t{}_\phi{}_\phi{}_t=-\frac{1}{r}a'e^{-2b}$

La verdadera respuesta implica un factor de$e^a$,$\sin \theta$y no$\frac{1}{r}$término.

Cualquier ayuda es apreciada.

Editar :

Aquí está algo de mi trabajo:

$du^t=-a_re^{-b}u^t\wedge u^r$

$du^\phi=-\frac{1}{r}[e^{-b}u^\phi\wedge u^r+\cot \theta u^\phi\wedge u^\theta]$

(No mostraré los cálculos para el resto)

De la ecuación sin torsión, obtenemos 2 de 4 conexiones de espín (el resto requiere las dos derivadas exteriores faltantes que no he mostrado en esta publicación):

$\omega^t{}_r=a_re^{-b}u^t$

$\omega^\phi{}_r=\frac{1}{r}e^{-b}u^\phi$

Entonces$\Omega^t{}_\phi$es como se muestra arriba. Explícitamente:

$\Omega^t{}_\phi=d\omega^t{}_\phi+\omega^t{}_r\wedge \omega^r{}_\phi+\omega^t{}_\theta\wedge \omega^\theta{}_\phi$

donde el primer y último término son 0 ya que$\omega^t{}_\phi$y$\omega^t_\theta$son 0