¿Existe una versión de "raíz cuadrada" de la ecuación de campo de Einstein?

Es bien sabido que la ecuación de Klein-Gordon tiene una especie de versión de "raíz cuadrada": la ecuación de Dirac .

Las ecuaciones de Maxwell también se pueden formular en forma de Dirac.

También es bien sabido que la métrica de la relatividad general tiene una especie de versión de "raíz cuadrada": el campo de tétrada (o vierbein ) de componentes mi m a ( X ) :

(1) gramo m v ( X ) = η a b mi m a ( X ) mi v b ( X ) .
Ahora, una pregunta natural es si las ecuaciones completas de Einstein:
(2) GRAMO m v + Λ gramo m v = − k T m v ,
podría reformularse solo para el campo tétrada (¿u otras variables?), como una especie de "versión de Dirac" de él. En otras palabras: ¿existe una versión de "raíz cuadrada" de la ecuación (2)?

Tendría curiosidad por ver la versión de "raíz cuadrada" de las ecuaciones de Friedmann-Lemaitre, en cosmología, y qué interpretación podría tener.
@ Cham, Dado que el factor de escala a es solo dependiente del tiempo (sin dependencia del espacio), la ecuación de Friedmann-Lemaitre es similar a la ecuación de Klein-Gordon unidimensional (con términos potenciales), y la raíz cuadrada de la cual es una ecuación de Dirac unidimensional con ψ términos potenciales dependientes.
@MadMax, ¿puede formular esto de manera matemática, como respuesta?
@MadMax El factor de escala a solo depende puramente del tiempo en las coordenadas de comovimiento, que en general no serán lo mismo que el marco ortonormal en el que está eligiendo calcular respuestas explícitas.

Respuestas (2)

  1. Dado que la naturaleza tiene materia fermiónica, de todos modos nos vemos obligados a reescribir la métrica en GR en términos de un vielbein (e introducir una conexión de espín). Ver, por ejemplo, mi respuesta Phys aquí . La materia fermiónica obedece a una ecuación de Dirac en un espacio-tiempo curvo. Sin embargo, esto no equivaldría a una raíz cuadrada de EFE .

  2. Existen extensiones supersimétricas de GR, como SUGRA .

  3. Otra idea es considerar las teorías de tipo YM como una raíz cuadrada de GR, o GR como una copia doble de YM. Véase, por ejemplo, la formulación Ashtekar o las relaciones KLT .

Al tomar la "raíz cuadrada de Dirac" de la restricción hamiltoniana para GR, naturalmente terminas con Supergravedad... así que en algún sentido apropiado, SUGRA "es" una "raíz cuadrada" de GR. Para más información sobre esto, consulte:

  • Romualdo Tabensky, Claudio Teitelboim, "La raíz cuadrada de la relatividad general". Physics Letters B 69 no.4 (1977) pp 453-456. Eprint
  • Claudio Teitelboim, "Supergravedad y raíces cuadradas de restricciones". física Rev. Lett. 38 (1977) 1106. Eprint
¿Existe una versión pública de estos documentos, disponible en alguna parte? El Eprint de los enlaces anteriores solicita una molesta membresía comercial paga.
@Alguien ve aquí y aquí .
@Alguien que no esté familiarizado con la supergravedad, una buena reseña es el libro de Paulo Vargas Moniz Cosmología cuántica: la perspectiva supersimétrica , volumen 1, que analiza la estructura de restricción de SUGRA y cómo la supercarga es la "raíz cuadrada" de la restricción hamiltoniana. Además, es una introducción decente al tema de SUGRA en general.
@AlexNelson, no estoy muy familiarizado con la supersimetría, aunque he oído hablar de ella con bastante frecuencia. Me sorprende que la "raíz cuadrada" de EFE en realidad traiga supersimetría en la imagen. Se siente raro para mí.
@Alguien Sí, pero también es bastante extraño que la "raíz cuadrada" del escalar te dé fermiones. La "raíz cuadrada" de los campos no es tan intuitiva como... bueno, como me gustaría. En cualquier caso, dado que no está familiarizado con SUSY, le recomiendo leer el libro de Moniz para aprender más sobre SUGRA.
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