¿Por qué no introducir grupos de cocientes de esta manera?

Con suerte, esta pregunta no será demasiado vaga, ingenua o tendrá información incorrecta.

Estoy tomando una clase de álgebra (usando el texto de álgebra de Robert Ash) y hemos terminado las primeras secciones de teoría de grupos y las he estado revisando, especialmente los teoremas de isomorfismo y núcleos/subgrupos normales. Da la casualidad de que comencé a leer un artículo un poco antes de comenzar a revisar el grupo que define los núcleos de una función de una manera diferente a como se define en la teoría de grupos.

Primero definiremos el núcleo en el documento. Dejar F : S → tu ser una función y Ker ⁡ F será la partición inducida en S por la relación de equivalencia ∼ definido por a ∼ b ⟺ F ( a ) = F ( b ) . A menos que me equivoque, Ker ⁡ F dónde F es un homomorfismo de grupo GRAMO → H es el conjunto GRAMO / ker ⁡ F (Estoy bastante seguro de que puedes usar cualquier elemento de Ker ⁡ F como el cociente). En mi mente, Ker parece un concepto más natural y "más directamente" explica el primer teorema de isomorfismo, al menos a primera vista. Por "más directamente" supongo que quiero decir que no tiene que pasar por definir subgrupos normales, el kernel de grupo típico o incluso cosets.

¿Hay alguna razón por la cual el concepto de ker parece estar más favorecido que Ker ?

En un intento de pensar por qué se me ocurrieron algunas cosas potenciales, pero no estoy seguro de cuán válidas son. Una es que no necesita desarrollar clases laterales para esto y las clases laterales son más útiles que solo objetos para el grupo de cocientes, pero sospecho que por el concepto de Ker uno podría motivarse mejor mirando las clases laterales (aunque no estoy seguro de cómo). Otro pensamiento que tengo es que tal vez, a nivel de notación y conceptualmente, se vuelve más útil pensar en GRAMO / norte , especialmente cuando se le asigna un subgrupo normal o necesita eliminar/conservar algunas propiedades. Entonces otra vez me siento como Ker podría motivar esos conceptos, así que no estoy seguro de si estos son buenos argumentos en contra Ker .

Así es como se definen los mapas de cocientes, por ejemplo, en la teoría de semigrupos. Tienes que asegurarte de que la multiplicación izquierda y derecha conserve la estructura de las clases, entonces ya está.

Respuestas (3)

Algunos autores definen los grupos de cocientes de esta manera (por ejemplo, véase Álgebra básica I de Jacobson , donde define "relaciones de congruencia" como relaciones de equivalencia que respetan la operación de grupo). De hecho, esta definición de "relación de congruencia" es la generalización correcta a cocientes de otras estructuras, por ejemplo, semigrupos de cocientes.

Sin embargo, creo que la razón principal para hacerlo de la forma habitual para los grupos es que construir grupos de cocientes es mucho más fácil cuando se hace de la forma habitual. Comprobar que un subgrupo es normal es relativamente sencillo (suponiendo que pueda realizar cálculos en el grupo). Si se define con relaciones de equivalencia, necesitaría construir una relación de equivalencia completa cada vez para construir un grupo de cocientes (hasta que finalmente se dé cuenta del concepto de subgrupo normal).

Crecí con subgrupos normales. Fue muy saludable para mi mente matemática 'descubrir' el concepto de 'relación de congruencia'. Mi mirada se hizo más amplia y los 'cocientes' se volvieron más naturales y generales. Mirando hacia atrás, hubiera preferido comenzar con las congruencias seguidas de la observación de que por grupos la clase de equivalencia que contiene la identidad determina la equivalencia total (lo que explica por qué se explotan allí los subgrupos normales). Después de esa observación, es por supuesto fructífero continuar concentrándonos en esa clase de equivalencia especial, llamándola 'subgrupo normal'.
Creo que se ha perdido una razón importante: al menos en la mayoría de los programas de EE. UU., los estudiantes en un primer curso de álgebra abstracta ya han tenido un semestre de álgebra lineal y es probable que hayan sido introducidos al núcleo de una transformación lineal (aunque ellos solo puede conocerlo como el espacio nulo). Tiene buen sentido pedagógico aprovechar esto. De hecho, aquellos que han visto algo de aritmética modular generalmente están acostumbrados a ver el 0 clase como la 'especial': metro ∣ norte es visto como 'mejor' que norte ≡ 2 ( modificación metro ) , decir.
@BrianM.Scott . Creo que querías escribir norte ≡ 0  (modo m) . Me crié en los Países Bajos. Tal vez eso juega un papel. Entiendo la razón pedagógica, pero puramente pensando matemáticamente me quedo con mi punto de vista: primeras congruencias.
@drhab: No, quise decir lo que escribí: estaba contrastando lo 'agradable' 0 clasifique los secundarios, menos 'agradables' como resto 2 .
@BrianM.Scott. Ahora entiendo. Mi lectura fue descuidada y pensé que 'mejor' involucraba solo la notación. De hecho, me perdí la esencia de lo que dijiste allí y estaba demasiado ansioso por responder.
@drhab: ¡No hay problema! Creo que una introducción temprana a las congruencias generales sería buena para los estudiantes que podrían ingresar a un programa de doctorado, pero la gran mayoría de los estudiantes de matemáticas aquí no lo son: transformaciones lineales en un primer curso de álgebra lineal, un poco de aritmética modular, y con suerte, los fundamentos de los homomorfismos de grupos y anillos pueden ser su única exposición a congruencias de cualquier tipo. Para esos estudiantes creo que el abordaje vía espacios nulos, subgrupos normales e ideales es más productivo.

Doy un primer curso de Álgebra a estudiantes de Matemáticas, y mi primer acercamiento a las estructuras de cocientes (grupos, anillos, etc.) es exactamente igual. Solo más adelante en el curso muestro que todas las relaciones de equivalencia que son compatibles con las operaciones son congruencias módulo un subgrupo normal, un ideal, etc.

Ciertamente es una cuestión de opinión, pero los primeros ejemplos que trato son grupos cíclicos y extensiones simples de campos, y este enfoque me parece perfectamente adecuado, porque los estudiantes pueden ver de inmediato cómo estos se relacionan con congruencias con las que ya están familiarizados. .

¡Claramente, los subgrupos normales, los ideales, etc. serán útiles más adelante!

Tu explicación me parece un poco confusa.

La razón por la que tenemos un subgrupo Normal, en lugar de cualquier subgrupo, como núcleo de un homomorfismo F : GRAMO → k es (una interpretación) que los subgrupos normales son lo que necesita para definir una relación de equivalencia en GRAMO que lleva la misma estructura de grupo en las clases de equivalencia que la estructura de grupo de la imagen de GRAMO en k .

Su "Ker" parece tener más que ver con la imagen del homomorfismo, que es una idea diferente del núcleo (que, en términos de equivalencia, es la clase de equivalencia que contiene la identidad).

También debe tener en cuenta que las clases laterales son las clases de equivalencia (en esta forma de pensar), por lo que si está utilizando clases de equivalencia, tiene clases laterales definidas implícitamente.

Quizás no me expresé bien, pero sé que son ideas diferentes. Por lo general, se introduce el kernel para crear una buena relación de equivalencia que respete la operación, pero ¿por qué no comenzar con la relación de equivalencia? Parece más natural definir y ver por qué se conserva la operación. Parece que el kernel típico se usa para definir la relación de equivalencia casi exclusivamente, aunque solo definir la relación de equivalencia parece más natural (para mí). Mi pregunta es si hay una razón particular para eso.
Estoy de acuerdo contigo cuando dices que es mejor comenzar con las congruencias (ver mi comentario anterior, donde también trato de explicar por qué en los grupos hay un enfoque en los subgrupos normales en lugar de las congruencias).
¿Por qué no introducir grupos de cocientes de esta manera?
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