La multiplicación de clases laterales está bien definida

Dejar ( GRAMO , ∗ ) ser un grupo y ( H , ∗ ) su subgrupo normal. Entonces el grupo de factores se define como

GRAMO / H := { gramo ∗ H : gramo ∈ GRAMO } .

Definimos la multiplicación de clases laterales (elementos de G/H) como una función

F : GRAMO / H × GRAMO / H → GRAMO / H
dada por ( gramo 1 H , gramo 2 H ) ↦ ( gramo 1 ∗ gramo 2 ) ∗ H . Por lo general, esto se muestra como una función bien definida mediante el uso de la "definición":

Un mapa F : A → B está bien definida si para cada a , b ∈ A a = b implica F ( a ) = F ( b ) .

Sin embargo, esta "definición" no tiene sentido para mí: Si a = b , no F ( a ) = F ( b ) siempre sigue, ya que siempre puedo reescribir a  como b ?

Es por eso que espero encontrar una función definida más "explícitamente" que defina la misma multiplicación de clases laterales. Para hacer esto, estaba tratando de encontrar una función F ~ : GRAMO / H → GRAMO que mapea cada gramo ∗ H ∈ GRAMO / H satisfactorio gramo ^ ∗ H = gramo ∗ H a gramo ^ . Después de eso, podría definir otra función. F ¯ : GRAMO → GRAMO / H dada por gramo ↦ gramo ∗ H . Luego redefino la función F como ( X , y ) ↦ F ¯ ( F ~ ( X ) ∗ F ~ ( y ) ) , que está claramente bien definido.

Ahora el problema es, ¿puede tal función F ~ ¿ser encontrado?

Se asume implícitamente que cuando se habla de una 'función' F : A → B , significan uno bien definido. Después de todo, sería un error referirse a ella como una función si no tuviera sentido. Entonces sí, a = b ⟹ F ( a ) = F ( b ) es automático
El problema surge cuando define una función en un conjunto/clase de equivalencia/etc. por cómo actúa sobre un miembro. Tienes que demostrar que no importa la elección, obtienes el mismo resultado.
"Para hacer esto, estaba tratando de encontrar una función f~:G/H→G que mapee cada g∗H∈G/H que satisfaga gramo ^ ∗H=g∗H a gramo ^ ." No tengo claro lo que estás diciendo. ¿Qué es gramo ^ ? Dada alguna propiedad PAG eso que quieres F para satisfacer, hay una gran diferencia entre ∃ F : ∀ gramo ^ PAG ( F ) versus ∀ gramo ^ ∃ F : PAG ( F ) , y no está claro de qué estás hablando.

Respuestas (3)

GRAMO se divide en subconjuntos disjuntos gramo H . Puedes elegir un elemento gramo ~ en cada coset gramo H (que se puede hacer usando AC). Luego define F ~ ( gramo H ) como gramo ~ . Esto se puede hacer de muchas maneras a menos que H = { 1 } .

¿Puede aclarar qué se entiende por CA?
Axioma de elección.
¡Gracias! ¡Esto es exactamente lo que esperaba!

El punto de la definición que cita se puede ver a partir de lo siguiente: -

Suponga que definió un mapa de los racionales por F ( a b ) → a .

también tendrías F ( 2 a 2 b ) → 2 a .

Desde a b = 2 a 2 b vemos eso F no está bien definido.

Si a=b, ¿no sigue siempre f(a)=f(b), ya que siempre puedo reescribir a como b?

esa reescritura a como b da como resultado la misma salida para F es exactamente lo que está bajo preocupación. Si podría ser claramente si está redactado como "Si dos expresiones representan el mismo objeto, entonces F aplicado a cada expresión da el mismo resultado". Mira, el problema es que la definición de F que cita define la salida en términos de una representación particular de elementos. Entonces la pregunta es, si gramo 1 y gramo 1 ′ definir la misma clase lateral, y gramo 2 y gramo 2 ′ otro coset, hazlo gramo 1 gramo 2 y gramo 1 ′ gramo 2 definir el mismo coset?

En cuanto a su idea de una función definida más explícitamente, además de requerir el axioma de elección, tiene los mismos problemas que la definición original. Si bien evita el problema de no estar bien definido, los casos en los que el original no estaría bien definido también son casos en los que su definición sería problemática. Por ejemplo, supongamos que quiero tomar ( gramo 1 H ) ( gramo 2 H ) ( gramo 3 H ) . Según la propiedad de asociatividad, ésta está bien definida; no importa si lo interpretamos como ( gramo 1 H ) ( ( gramo 2 H ) ( gramo 3 H ) ) o ( ( gramo 1 H ) ( gramo 2 H ) ) ( gramo 3 H ) . Pero, ¿su definición produce el mismo resultado de cualquier manera? Es posible probar que si H es normal, entonces sí, pero esa prueba no es más fácil que probar que la definición original está bien definida.

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