Comprender el grupo de cocientes en el producto libre (teorema de van Kampen)

Nunca he estudiado álgebra a fondo, por lo que no tengo ninguna experiencia con grupos ni una mentalidad que los maneje de forma natural. Por ejemplo, ayer estuve buscando ejemplos de grupos de cocientes, ya que eso me resultó menos obvio que la topología de cocientes, de ahí la pregunta.

Consideremos el siguiente espacio X :

ingrese la descripción de la imagen aquí

Dejar A ser el círculo verde y rojo con un poco del azul, y B Sea el círculo azul y rojo con un poco de verde, para que ambos estén abiertos y C = A ∩ B es la homotopía equivalente al círculo rojo. Dejar X 0 ser un punto donde los círculos verde y rojo se cruzan. Entonces π 1 ( A , X 0 ) = π 1 ( B , X 0 ) = Z ∗ 2 y π 1 ( C , X 0 ) = Z .

Mi entendimiento es que π 1 ( X , X 0 ) = Z ∗ 3 que se puede encontrar si tomamos A quedando solo el círculo verde con un poco de rojo, ya que su intersección con B es homotópico nulo. Pero para entender la interacción entre los grupos de cocientes y el producto libre de los grupos, quiero obtener π 1 ( X , X 0 ) de A y B como se definió originalmente. obtengo eso

π 1 ( X , X 0 ) = Z ∗ 3 = ( Z ∗ 2 ∗ Z ∗ 2 ) / norte
dónde norte ≤ Z ∗ 2 ∗ Z ∗ 2 es el subgrupo normal, correspondiente a π 1 ( C , X 0 ) .

Lo que no me queda claro: lo que es norte ¿aquí? Supongo que podemos usar el hecho de que π 1 ( C , X 0 ) ≤ π 1 ( A , X 0 ) y π 1 ( C , X 0 ) ≤ π 1 ( B , X 0 ) de alguna manera, así que las cartas de π 1 ( C , X 0 ) cuando se trata en el producto libre debe identificarse de alguna manera? Además, ¿qué es exactamente norte como un subgrupo del producto, ¿a qué palabras corresponde, cómo podemos mostrar que esas palabras forman un subgrupo normal y cuáles son las clases laterales de ese subgrupo en el producto? Esto último es importante para mi comprensión, ya que por ahora pienso en los elementos del subgrupo cociente como clases laterales del original.

Una cosa que los estudiantes a menudo pasan por alto es que N es, por definición, normalmente generado por la imagen de π 1 ( A ∩ B ) . Así que es normal por definición.
cual es la imagen de π 1 ( A ∩ B ) , imagen donde y bajo que mapa?
en realidad, la forma en que me gusta pensar sobre el producto gratuito con fusión es la siguiente. Tienes palabras en elementos de π 1 ( A ) y π 1 ( B ) como en el grupo libre, pero cualquier subpalabra que se encuentre en π 1 ( A ∩ B ) se puede convertir entre tumbado π 1 ( A ) y π 1 ( B ) .
@CheerfulParsnip todavía está interesado en mi primera pregunta :) la última intuición no ayuda por ahora, tbh
Dejar i A : π 1 ( A ) → π 1 ( A ) ∗ π 1 ( B ) ser el mapa natural y definir de manera similar i B . Dejar j A : π 1 ( C ) → π 1 ( A ) y j B : π 1 ( C ) → π 1 ( B ) ser inducida por la inclusión. Entonces norte se define como el subgrupo normal generado por elementos de la forma i A ( j A ( C ) ) i B ( j B ( C − 1 ) ) .

Respuestas (1)

Para despegar, realmente ayuda usar una notación más informativa para π 1 ( A ) y π 1 ( B ) que solo la simple notación vainilla Z ∗ 2 .

Vamos a nombrar tres bucles: γ es el bucle verde basado en X 0 ; ρ es el bucle rojo basado en X 0 ; y β es el bucle basado en X 0 que va a lo largo de la mitad superior del lazo rojo, alrededor del lazo azul y de regreso a lo largo de la mitad superior del lazo rojo.

Ahora podemos nombrar bases libres para los dos rangos. 2 grupos libres:

π 1 ( A , X 0 ) ≈ ⟨ γ , ρ A ⟩
π 1 ( B , X 0 ) ≈ ⟨ ρ B , β ⟩
Mi razón para usar las notaciones ρ A y ρ B es que en realidad representan dos clases de homotopía diferentes: la clase de homotopía de ρ en A , y la clase de homotopía de ρ en B .

Tu escribiste:

norte ≤ Z ∗ 2 ∗ Z ∗ 2 es el subgrupo normal, correspondiente a π 1 ( C , X 0 ) .

Buenollllll......., eso es un poco vago.

He aquí una descripción precisa:

norte < π 1 ( A , X 0 ) ∗ π 1 ( B , X 0 )
es el subgrupo normal generado por ρ A ρ B − 1 , a saber, el subgrupo formado por todos los productos de conjugados w ρ A ρ B − 1 w − 1 dónde w ∈ π 1 ( A , X 0 ) ∗ π 1 ( B , X 0 ) es arbitrario La intuición aquí es que ρ A ρ B − 1 representa primero dar la vuelta C en una dirección dentro A , y luego dando la vuelta C en la dirección inversa dentro B . Pero en X , el interior A y B " no importa, este bucle representará el elemento de identidad en π 1 ( X , X 0 ) .

Normalidad de norte es una simple consecuencia del hecho de que es generado por una clase de conjugación: en cualquier grupo, el subgrupo generado por cualquier clase de conjugación es normal.

No estoy seguro de qué decir con respecto a su insistencia en pensar en clases laterales de norte . Para mí, la idea teórica de grupo de esta operación de cociente es que para cualquier palabra sobre las letras γ , ρ A , ρ B , β , modificado por norte le permite identificar los dos elementos ρ A , ρ B a un solo elemento llamado ρ , dando así el grupo libre con base libre ⟨ γ , ρ , β ⟩ .

La primera lectura parece arrojar algo de luz. Si está bien, volveré un poco más tarde y verificaré si los detalles aquí son lo suficientemente claros. Ya me di cuenta que no podemos decir eso π 1 C < π 1 A o π 1 C < π 1 B como debemos tomar sobre la imagen de π 1 C en aquellos grupos bajo el homomorfismo inducido de las correspondientes inclusiones.
lo que no me queda claro es que π 1 C = ⟨ ρ ⟩ , que es todas las potencias de ρ . Todavía, norte no se parece en nada a eso: en cambio, es como una primera potencia de ρ conjugado con todo lo demás.
Gracias por detectar ese error tipográfico.
Acerca de π 1 C = ⟨ ρ ⟩ y norte en tu último comentario, como dijiste C es la homotopía equivalente a un círculo, de hecho C la deformación se retrae al círculo rojo, y ρ es simplemente el bucle que da una vuelta al círculo rojo y por lo tanto genera su grupo fundamental.
Pero tu descripción de norte Es incorrecto. norte no es "como una primera potencia de ρ conjugado con todo lo demás". Si ese fuera el caso, después de modificar por norte el elemento ρ sería trivial en π 1 ( X , X 0 ) , que no lo es.
Deberías pensar en los generadores normales de norte como elementos del producto libre π 1 ( A , X 0 ) ∗ π 1 ( B , X 0 ) que obviamente se asignan al elemento de identidad bajo el homomorfismo π 1 ( A , X 0 ) ∗ π 1 ( B , X 0 ) ↦ π 1 ( X , X 0 ) .
Aparentemente, ese es exactamente el punto de mi confusión: parece que π 1 C y norte puede ser muy diferente y norte es más como la identidad de π 1 C que tiene que ser escrito usando diferentes letras en π 1 A ∗ π 1 B . ¿Eso estaría más cerca?
Sí, eso suena como una interpretación razonable. Y sí, el grupo cíclico infinito C y el grupo libre infinitamente generado norte son muy diferentes.
Comprender el grupo de cocientes en el producto libre (teorema de van Kampen)
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