Ayuda a comprender el uso del primer teorema de isomorfismo con respecto al grupo lineal especial

Question

Ayuda a comprender el uso del primer teorema de isomorfismo con respecto al grupo lineal especial

Matemáticas
teoría de grupos
cociente-grupo
álgebra abstracta
grupo-homomorfismo

AKematas

Estoy leyendo un libro de texto ( Contemporary Abstract Algebra, 9th Edition , Joseph A. Gallian), y me dio el siguiente ejemplo:

Recordar que $SL(2,\mathbb{R})=\{A\in GL(2,\mathbb{R}\ |\det A=1)\}$ y deja $H=\{A\in GL(2,\mathbb{R}\ |\det A=\pm 1)\}$ . Luego mapeando $\Phi(A)=\det A$ desde $GL(2,\mathbb{R})$ sobre $\mathbb{R}^*$ muestra que $GL(2,\mathbb{R})/SL(2,\mathbb{R})\approx\mathbb{R}^*$ .

Aquí, $\mathbb{R}^*$ se utiliza para representar el conjunto de todos los números reales distintos de cero.

Donde me estoy tropezando es por qué $GL(2,\mathbb{R})$ en sí mismo no es simplemente homomórfico a $\mathbb{R}^*$ . Por definición, $A\in GL(2,\mathbb{R})$ implica que $\det A\neq0$ , y como todos sabemos, $\det AB=\det A\det B$ . Esto me parece implicar que $GL(2,\mathbb{R})\approx \mathbb{R}^*$ . ¿Cómo un grupo de factores y el grupo del que es un subgrupo pueden ser homomórficos al mismo grupo?

(Además, creo que todavía estoy un poco confuso en cuanto a qué $GL(2,\mathbb{R})/SL(2,\mathbb{R})$ en realidad es Hasta donde yo sé, creo que es el conjunto de todas las clases laterales de $SL(2,\mathbb{R})$ en $GL(2,\mathbb{R})$ - es decir, todas las matrices $C$ dónde $AB=A'B'+C$ , con $A,A'\in GL(2,\mathbb{R})$ y $B,B'\in SL(2,\mathbb{R})$ . ¿Es esta una forma correcta de pensar sobre el grupo?)

Tomas Andrews

H

$H$ no se usa ni se necesita para este resultado, por lo que puedo ver. ¿Podría usarse en el libro un resultado diferente después de este resultado?

Surb

Φ (A) = 1

$\Phi(A)=1$ no implica que

A = I

$A=I$ . Por lo tanto,

Φ

$\Phi$ no es inyectable.

Tomas Andrews

Es solo un isomorfismo si

det (A) = det (B)

$\det(A)=\det(B)$ implica

A = B .

$A=B.$ Pero

A = I, B = - I

$A=I,B=-I$ da un claro ejemplo de que esto no es cierto.

Surb

Entonces,

Φ (A) = 1

$\Phi(A)=1$ no implica que

A = I

$A=I$ y por lo tanto,

Φ

$\Phi$ no es inyectivo... lo que no está claro? @TomasAndrews

Ethan

Una manera intuitiva de pensar

{GL}_{2} (R) / {SL}_{2} (R)

$\text{GL}_2(\mathbb{R})/\text{SL}_2(\mathbb{R})$ es como la partición del grupo lineal general en clases laterales del mismo determinante. Considerando que dos matrices están en la misma clase lateral si

A B^{- 1} \in {SL}_{2} (R)

$AB^{-1} \in \text{SL}_2(\mathbb{R})$ , dos matrices están en la misma clase lateral si

det (A B^{- 1}) = det (A) det (B)^{- 1} = 1

$\det(AB^{-1}) = \det(A)\det(B)^{-1} = 1$ , mostrando que

det A = det B

$\det A = \det B$ .

Tomas Andrews

Su definición de las clases laterales es un poco confusa y muestra que es posible que desee revisar esa definición. Cuáles son

A, B, C, A^{'}, B^{'}

$A,B,C,A',B'$ se supone que representa? Mientras que (izquierda) -costas laterales de un subgrupo

H

$H$ de un grupo

G

$G$ a menudo se escriben como

g H

$gH$ . dónde

g \in G,

$g\in G,$ A menudo tiendo a pensar en ellos como clases de equivalencia en

G

$G$ módulo

H

$H$ - extendiendo la forma en que pensamos en los números enteros módulo

n .

$n.$ Entonces

g_{1} \sim g_{2} (\mod H)

$g_1\sim g_2\pmod{H}$ se define para significar

g_{1}^{- 1} g_{2} \in H .

$g_1^{-1}g_2\in H.$ Entonces la clase lateral que contiene

g_{1}

$g_1$ contiene exactamente los elementos

g \in G

$g\in G$ tal que

g_{1}^{- 1} g \in H .

$g_1^{-1}g\in H.$

AKematas

@ThomasAndrews lo siento, corté la parte corta del libro; continuó diciendo que

G L (2, R) / H \approx R^{+}

$GL(2,\mathbb{R})/H\approx\mathbb{R}^+$ con el mapeo

Φ (A) = (det A)^{2}

$\Phi(A)=(\det A)^2$ . Gracias por toda su ayuda, ¡siento que tengo una comprensión más clara ahora!

pista44

¿Por qué el conjunto de personas no está en biyección con el conjunto de edades? Después de todo, cada persona tiene una edad. ¡Así que llegamos a la conclusión de que solo hay unas 120 personas en la Tierra! La respuesta es que diferentes personas pueden tener la misma edad. De manera similar, diferentes matrices pueden tener el mismo determinante. El hecho de que el determinante sea un homomorfismo no cambia nada.

Respuestas (1)

Ayuda a comprender el uso del primer teorema de isomorfismo con respecto al grupo lineal especial

$H$ no se usa ni se necesita para este resultado, por lo que puedo ver. ¿Podría usarse en el libro un resultado diferente después de este resultado?
$\Phi(A)=1$ no implica que $A=I$ . Por lo tanto, $\Phi$ no es inyectable.
Es solo un isomorfismo si $\det(A)=\det(B)$ implica $A=B.$ Pero $A=I,B=-I$ da un claro ejemplo de que esto no es cierto.
Entonces, $\Phi(A)=1$ no implica que $A=I$ y por lo tanto, $\Phi$ no es inyectivo... lo que no está claro? @TomasAndrews
Una manera intuitiva de pensar $\text{GL}_2(\mathbb{R})/\text{SL}_2(\mathbb{R})$ es como la partición del grupo lineal general en clases laterales del mismo determinante. Considerando que dos matrices están en la misma clase lateral si $AB^{-1} \in \text{SL}_2(\mathbb{R})$ , dos matrices están en la misma clase lateral si $\det(AB^{-1}) = \det(A)\det(B)^{-1} = 1$ , mostrando que $\det A = \det B$ .
Su definición de las clases laterales es un poco confusa y muestra que es posible que desee revisar esa definición. Cuáles son $A,B,C,A',B'$ se supone que representa? Mientras que (izquierda) -costas laterales de un subgrupo $H$ de un grupo $G$ a menudo se escriben como $gH$ . dónde $g\in G,$ A menudo tiendo a pensar en ellos como clases de equivalencia en $G$ módulo $H$ - extendiendo la forma en que pensamos en los números enteros módulo $n.$ Entonces $g_1\sim g_2\pmod{H}$ se define para significar $g_1^{-1}g_2\in H.$ Entonces la clase lateral que contiene $g_1$ contiene exactamente los elementos $g\in G$ tal que $g_1^{-1}g\in H.$
@ThomasAndrews lo siento, corté la parte corta del libro; continuó diciendo que $GL(2,\mathbb{R})/H\approx\mathbb{R}^+$ con el mapeo $\Phi(A)=(\det A)^2$ . Gracias por toda su ayuda, ¡siento que tengo una comprensión más clara ahora!
¿Por qué el conjunto de personas no está en biyección con el conjunto de edades? Después de todo, cada persona tiene una edad. ¡Así que llegamos a la conclusión de que solo hay unas 120 personas en la Tierra! La respuesta es que diferentes personas pueden tener la misma edad. De manera similar, diferentes matrices pueden tener el mismo determinante. El hecho de que el determinante sea un homomorfismo no cambia nada.

mrtaurho · Answer 1

El mapa determinante $\det\colon\operatorname{GL}(2,\mathbb R)\to\mathbb R^\ast$ define un homomorfismo de grupo, tanto es claro. Esto es sólo una reformulación del hecho de que $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ . Este mapa también es claramente sobreyectivo ya que

det ((\begin{matrix} r & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})) = r

$\det\left(\begin{pmatrix}r&0\\0&1\end{pmatrix}\right)=r$

para cualquier distinto de cero $r\in\mathbb R$ . Sin embargo, y aquí está el truco, este mapa no es inyectivo; de hecho, lejos de eso. Tenga en cuenta que, por ejemplo $1\in\mathbb R^\ast$ tiene innumerables pre-imágenes dadas por

det ((\begin{matrix} r & 0 \\ 0 & r^{- 1} \end{matrix})) = 1

$\det\left(\begin{pmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{pmatrix}\right)=1$

para cualquier distinto de cero $r\in\mathbb R$ . Y un isomorfismo (el $\approx$ la notación suele reservarse para los isomorfismos) es por definición biyectiva. Por eso, $\operatorname{GL}(2,\mathbb R)\not\approx\mathbb R^\ast$ ; bueno, al menos no a lo largo de este homomorfismo particular.

El primer teorema de isomorfismo le dice cómo solucionar este problema: ¡simplemente modifique el kernel! El núcleo está dado por definición por $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$ como elemento de identidad de $\mathbb R^\ast$ es $1$ .

Con respecto a su pregunta sobre la estructura interna del grupo de factores.

Ambos $G=\operatorname{GL}(2,\mathbb R)$ y $K=\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$ son grupos multiplicativos . Dado $A\in G$ su coset $AK$ es

A k = {A S | S \in k} .

$AK=\{AS\,|\,S\in K\}\,.$

Dos elementos en el grupo de factores $G/K$ son los mismos si sus representantes en $G$ difieren por un elemento de $K$ , es decir $AK=BK$ si y si $AB^{-1}\in K$ . Creo que en alguna parte aquí mezclaste las nociones de suma y multiplicación.

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Surb

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mrtaurho

Comprender el grupo de cocientes en el producto libre (teorema de van Kampen)

Imagen homomórfica de un grupo alterno.

El grupo es indescomponible pero la imagen homomórfica no lo es.

¿Existe un homomorfismo sobreyectivo de (Q,+)(Q,+)(\Bbb{Q},+) a (Z,+)(Z,+)(\Bbb{Z},+)?

¿Es correcta esta explicación de los subgrupos normales y los grupos de cocientes?

¿Son lo mismo el teorema fundamental del homomorfismo y el primer teorema del isomorfismo?

Homomorfismos de grupos infinitos a grupos finitos

Grupos libres, generadores y homomorfismos de grupos

Existencia de un homomorfismo sobre un grupo de S4S4S_4 a Z4Z4\Bbb Z_4

Anti-isomorfismos